Trả lời

a^2 + b^2 - 2ab

= ( a^2 - 2ab + b^2 )

= ( a - b )^2 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy...

\(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge\forall a,b\)

Hằng đẳng thức số 2 \(a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\)

 \(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vậy \(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)

Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 - 2 a b ≥ 0

⇒  a 2 + b 2 - 2 a b + 2 a b ≥ 2 a b  ⇒  a 2 + b 2 ≥ 2 a b

⇒  a 2 + b 2 . 1 / 2 ≥ 2 a b . 1 / 2   ⇒   a 2 + b 2 / 2 ≥ a b

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(12n+1, 30n+2)$
$\Rightarrow 12n+1\vdots d; 30n+2\vdots d$

$\Rightarrow 5(12n+1)-2(30n+2)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow ƯCLN(12n+1, 30n+2)=1$

$\Rightarrow 12n+1, 30n+2$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Luôn đúng với mọi a và b

Ta có:

     \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

       <=>\(\left(a-b\right)\cdot\left(a-b\right)\ge0\)

       <=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

       <=>\(\left(a^2+b^2\right)\ge2ab\)

       <=>\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(đpcm)

Vậy với 2 số a,b bất kì ta có \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

Áp dụng bđt AM-GM 

\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{2\sqrt{a^2b^2}}{2}=\frac{2ab}{2}=ab\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

2.

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Tương tự.......................

1. Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)

Lại có: b - a < 0 ( a > b)

ab >0 ( a>0, b > 0)

\(\Rightarrow\dfrac{b-a}{ab}< 0\)

Vậy: \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)

2. Xét hiệu : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}-2ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

3. Xét hiệu : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

Vậy : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) Xảy ra đẳng thức khi a = b

Ta thấy: \(\frac{a^2}{b}-2a+b=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}\)

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}-\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-ab+b^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{b}}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}{2}}=\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2a+2b}\)

Bất đẳng thức tương đương với:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}\ge\)

\(\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}+\frac{3\left(b-c\right)^2}{4\sqrt{b^2+c^2-bc}+2\left(b+c\right)}+\frac{3\left(c-a\right)^2}{b\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\right]\)

\(+\left(c-a\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\right]\ge0\)

Ta đặt:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

Chứng mình sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được A,B,C\(\ge0\), vậy:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}=\frac{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2a+b}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2b+c}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\ge0\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}=\frac{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2c+a}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\ge0\)

Vậy biểu thức đã được chứng mình.