Gọi d=ƯCLN(2n+5;4n+8)

=>4n+10-4n-8 chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

mà 2n+5 lẻ

nên d=1

=>ĐPCM

n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN (n+1;4n+3)=1

gọi ƯCLN (n+1;4n+3)=d

=>[(n+1)+(4n+3)] chia hết cho d

=>1 chia hết cho d =>d=1

=>ƯCLN(n+1;4n+3) =1

vậy n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK MÌNH NHÉ

Gọi d = UCLN(2n+3,4n+8)

Suy ra 2n+3 ⋮ d và 4n+8 ⋮ d

Ta có 2n+3 ⋮ d => 2.(2n+3) ⋮ d => 4n+6 ⋮ d

Vì 4n+8 ⋮ d và 4n+6 ⋮ d nên (4n+8) – (4n+6) ⋮ d => 2 ⋮ d => d ∈ {1;2}

Vì 2n+3 là số lẻ nên d = 2 là không thỏa mãn. Vậy d = 1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2n+3 và 4n+8 là nguyên tố cùng nhau

Tham Khảo:

Giả sử: \(UCLN\left(2n+3;4n+8\right)=d\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

=> \(2⋮d\) => \(\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

Có 2n+3 là số lẻ => \(2n+3⋮̸2\)

=> d = 1

=> đpcm

Gọi \(d=UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\)

Suy ra \(2n+3\)chia hết cho d và \(4n+8\)chia hết cho d

Ta có :

\(2n+3\)chia hết cho d \(=2.\left(2n+3\right)\text{⋮}d\)nên 

Vì \(4n+8\text{⋮}d\)và \(4n+6\text{⋮}d\)nên 

\(\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)\text{⋮}d=2\text{⋮}d=d..\left\{1;2\right\}\)

Vì \(2n+3\)là số lẻ nên \(d=2\)

Vậy đó

\(Gọi:d=UCLN\left(2n+3;4n+8\right).Taco\)

\(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Vì: 2n+3 là số lẻ nên d là số lẻ

=> d=1. Vậy 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

cảm ơn bạn

e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1