\(\left\{{}\begin{matrix}m\left(x+3\right)\le x+5\\m\left(x+2\right)\ge x+3\end{matrix}\right.\) có nghiệm chung \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{x+5}{x+3}\\m\ge\dfrac{x+3}{x+2}\end{matrix}\right.\)

Để 2 pt có 1 nghệm chung thì \(\dfrac{x+5}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x+2\right)-\left(x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+7x+10-x^2-6x-9=0\)

\(\Leftrightarrow x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Thay \(x=-1\) vào \(\left(1\right):\)

\(\left\{{}\begin{matrix}m\left(-1+3\right)\le-1+5\\m\left(-1+2\right)\ge-1+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m\le4\\m\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le2\\m\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=2\)

Vậy m = 2 thì bpt trên có nghiệm chung

Bất phương trình x²-3x+2  ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Bất phương trình mx²+(m+1) x+m+1   ≥ 0  

Xét hàm số  f ( x ) = - x - 2 x 2 + x + 1   ,   1 ≤ x ≤ 2

Có  f ' ( x ) = x 2 + 4 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2   > 0   ∀ x ∈ 1 ; 2

Yêu cầu bài toán  ⇔ m ≥ m a x [ 1 ; 2 ]   f ( x ) ⇔ m ≥ - 4 7

Chọn C.

Giải bất phương trình x²- 3x+ 2≤ 0 ta được 1≤x≤2.

Bất phương trình  mx²+ (m+ 1) x+ m+1≥0

⇔ m ( x 2 + x + 1 ) ≥ - x - 2 ⇔ m ≥ - x - 2 x 2 + x + 1

Xét hàm số f ( x ) = - x - 2 x 2 + x + 1   với 1≤ x≤ 2

Có đạo hàm  f ' ( x ) = x 2 + 4 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 > 0 , ∀ x ∈ 1 ; 2

Yêu cầu bài toán  ⇔ m ≥ m a x [ 1 ; 2 ]   f ( x ) ⇔ m ≥ - 4 7

Chọn C.

\(\Delta^'=b^'^2-ac=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+4\right)=2m-3\ge0\Rightarrow m\ge\frac{3}{2}\)(1)

\(=-\left(m^2-2m+1\right)-1=-\left(m-1\right)^2-1\)(với \(m\ge\frac{3}{2}\))

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2-4\)

\(\Delta'=m^2-2m-m^2+1-4\)

\(\Delta'=-2m-3\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\)\(\Delta'\ge0\)\(\Rightarrow-2m-3\ge0\)

                                                                     \(\Leftrightarrow m\le-\frac{3}{2}\)

Theo vi-ét\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+4\end{cases}}\)

\(P=x_1+x_2-x_1x_2\)

\(P=2m+1-m^2-4\)

\(P=-m^2+2m-3\)

\(P=\left(1-m\right)^2-2\)

\(\left(1-m\right)^2-2\ge-2\Rightarrow P\ge-2\)

MIN \(P=-2\)khi\(m=1\)

MAX \(P=\frac{-1}{2}\)khi  \(m=\frac{5}{4}\)