Đáp án đúng : C

Đáp án C

Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt cầu (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K.

Đáp án A.

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta thấy I K = r '  là bán kính đáy của hình chóp, A I = h  là chiều cao của hình chóp.

Tam giác  vuông tại K có IK là đường cao

⇒ I K 2 = A I . I M ⇒ r ' 2 = h . 2 r − h

Ta có V c o h p = 1 3 . π r ' 2 . h = 1 3 . π . h . h . 2 r − h = 4 3 π . h 2 . h 2 2 r − h .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  

h 2 . h 2 . 2 r − h ≤ h 2 + h 2 + 2 r − h 3 27 = 8 r 3 27

⇔ V c h o p ≤ 4 3 π . 8 r 3 27 = 32 81 . π r 3

Dấu bằng xảy ra khi h 2 = 2 r − h ⇔ h = 4 r 3   . Vậy ta chọn A

Đáp án B

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r

Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là R 2 = r 2 + h 2 4  

Thể tích khối trụ là V = πr 2 h = π 4 4 R 2 - h 2 . h  

Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có

4 R 2 - h 2 4 R 2 - h 2 2 h 2 ≤ 4 R 2 - h 2 + 4 R 2 - h 2 + 2 h 2 3 27

Nên  4 R 2 - h 2 . h 2 ≤ 256 R 6 27 ⇒ V ≤ π 4 4 R 2 - h 2 h ≤ 4 π 3 9 R 3  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 R 2 - h 2 = 2 h 2 ⇔ h = 2 R 3 3 .