1. Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; ab + 1 = cd

Chứng tỏ rằng: c = d

2. Có tồn tại cặp số nguyên (a; b) nào thỏa mãn đẳng thức sau:

a) -252a + 72b = 2013

b) 512a - 104 = -2002

3. Cho m và n là các số nguyên dương:

A = \(\frac{2+4+6+...+2m}{m}\)

B = \(\frac{2+4+6+...+2n}{n}\)

Biết A<B, hãy so sánh m và n

4. Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a - ( b + c ) = d. Chứng tỏ rằng: a - c = b + d

Các cao nhân giúp mình với

Bài 1: Cho n > 3 và n ∈ N. Chứng minh nếu 2ⁿ = 10a + b với a; b ∈ N và 0 < b < 9 thì ab ⋮ 6

Bài 2: Cho các số nguyên dương thỏa mãn a² + b² = c². Chứng minh rằng abc ⋮ 60

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a + 1 và 2a + 1 đều là các số chính phương thì a ⋮ 24

Bài 4: Chứng minh rằng nếu a + 1 và 3a + 1 đều là các số chính phương thì a ⋮ 40

Bài 5: Cho 3 số nguyên dương thỏa mãn a³ + b³ + c³ ⋮ 14. Chứng minh rằng abc cũng ⋮ 14

Bài 6: Cho biểu thức S = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để S ⋮ 16

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   

5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

6. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

7. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

8. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

9. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của avà b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

10. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

11. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0