Lời giải:

$3xy+2x-5y=6$

$x(3y+2)-5y=6$

$3x(3y+2)-15y=18$

$3x(3y+2)-5(3y+2)=8$

$(3y+2)(3x-5)=8$

Đến đây lập bảng xét giá trị thôi bạn.

=>3xy-3x=6

=>3x(y-1)=6

=>x(y-1)=2

=>\(\left(x;y-1\right)\in\left\{\left(1;2\right);\left(2;1\right);\left(-1;-2\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;3\right);\left(2;2\right);\left(-1;-1\right);\left(-2;0\right)\right\}\)

1) Giả sử: \(9x+5=n\left(n+1\right)\left(n\in Z\right)\)

\(36x+20-4n^2+4n\)

\(\Rightarrow36x+21=4n^2+4n+1\)

\(\Rightarrow3\left(12x+7\right)=\left(2n+1\right)^2\)

\(\left(2n+1\right)^2\)là số chính phương nên sẽ chia hết cho 3 => (2n+1)² chia hết cho 9

Lại có: 12x+7 ko chia hết cho 3 => 3(12x+7) ko chia hết cho 9

Chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x+5=n(n+1)

2) Ta có: xy + 3x - y = 6 =>x(y+3) - y = 6 

=>x(y+3) - y - 3 = 3 =>x(y+3) - (y+3) = 3

=> (y+3)(x-1) =3

Vì x, y là các số nguyên nên y+3;x-1 là các số nguyên

Ta có bảng sau:

Vì \(65\) là số lẻ nên \(2x+5y+1\) và \(2^{\left|x\right|-1}+y+x^2+x\) cũng là số lẻ.

mà \(2x+1\)lẻ 

\(\Rightarrow\)\(5y\) là số chẵn

\(\Rightarrow\)\(y\) là số chắn

Có \(2^{\left|x\right|-1}+x^2+x\)là só lẻ mà \(x^2+x=x\left(x+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chắn, \(y\) cũng là số chẵn

\(\Rightarrow\)\(2^{\left|x\right|-1}\) là số lẻ

\(\Rightarrow\)\(x=\pm1\).

Với \(x=1\)ta có: 

\(\left(5y+3\right)\left(y+3\right)=65\)

suy ra \(y=2\).

Tương tự với \(x=-1\)suy ra không có giá trị của \(y\)thỏa mãn. 

Vậy ta có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(1,2\right)\).

Do VP là số lẻ

<=> 2x + 5y + 1 là số lẻ và 2|x|+y+x2+x2|x|+y+x2+x là số lẻ

<=> y chẵn và 2|x|+y+x(x+1)2|x|+y+x(x+1) là số lẻ 

=> 2|x|2|x| là số lẻ (do y chẵn và x(x+1) chẵn)

=> x = 0

PT <=> (5y+1)(1+y)=105(5y+1)(1+y)=105

<=> y = 4 (thử lại -> thỏa mãn)

KL: x = 0; y = 4

2. 

\(\frac{2}{2x+1}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow y.\left(2x+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow y;2x+1\inƯ\left(8\right)\)

Mà 2x + 1 là số lẻ \(\Rightarrow2x+1\in\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng: