Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC thì B C ⊥ A ' A M  .

Từ A kẻ A H ⊥ A ' M , H ∈ A ' M . Khi đó A H ⊥ ( A ' B C )  .

Suy ra d A , A ' B C = A H = a 5 2  .

Góc giữa đường thẳng A ' B  và mặt phẳng (ABC) bằng góc A ' M A ⏞  .

Theo giả thiết ta có  A ' M A ⏞ = 60 °

Đặt AB = 2x thì A M = x 3 ; A ' A = 2 x 3  .

Suy ra A H = A ' A . A M A ' A 2 + A M 2 = 2 x 15 5  

Từ giả thiết ta có 2 x 15 5 = a 5 2 ⇒ x = 5 a 15 12  Do đó

A A ' = 5 a 2 ; S A B C = 25 a 2 3 48

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là  V = 125 3 96 a 3 .

Gọi H là trung điểm của AB, \(A'H\perp\left(ABC\right)\) và \(\widehat{A'CH}=60^0\)

Do đó \(A'H=CH.\tan\widehat{A'CH}=\frac{3a}{2}\)

Do đó thể tích khối lăng trụ là \(V_{ABC.A'B'C'}=\frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình chiếu vuông góc của H lên A'I. Suy ra :

\(HK=d\left(H,\left(ACC'A'\right)\right)\)

Ta có :

\(HI=AH.\sin\widehat{IAH}=\frac{\sqrt{3}a}{4}\);

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HI^2}+\frac{1}{HA'^2}=\frac{52}{9a^2}\)

=>\(HK=\frac{3\sqrt{13}a}{26}\)

Do đó \(d\left(B;\left(ACC'A'\right)\right)=2d\left(H;\left(ACC'A'\right)\right)=2HK=\frac{3\sqrt{13}a}{13}\)

http://baitaptoan.net/bai-tap-lang-tru/

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)

Tam giác \(A'BC\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BC\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'I,AI} \right) = \widehat {AI{\rm{A}}'} = {60^ \circ }\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AA' = AI.\tan \widehat {AI{\rm{A}}'} = \frac{{3a}}{2}\)

b) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)