Ta có : 3/4 + 8/9 + 15/16 +...+ 9999/10000
= (1 - 1/4) + (1 - 1/9) + (1 - 1/16) + ...+ (1 - 1/10000) 
= 99 - (1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/10000) (1)
Đặt A = 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/10000
A = 1/2.2 + 1/3.2 + 1/4.4 +.....+ 1/100.100
Mà : A = 1/2.2 + 1/3.2 + 1/4.4 +.....+ 1/100.100 < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ....+1/99.100
hay A < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +....+ 1/99 - 1/100
Vậy A < 1 - 1/100 < 1 (2)
Từ (1) và (2) => 98 < 3/4 + 8/9 + 15/16 +...+ 9999/10000 < 99
Vậy tổng trên ko phải STN

Ta có :

\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)

\(A=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+...+\left(1-\frac{1}{10000}\right)\)

\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{10000}\right)\)

\(A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)>99\)\(\left(1\right)\)

gọi B là biểu thức trong ngoặc

Lại có :

\(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(B< 1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)>99-\left(1-\frac{1}{100}\right)>98\)

\(\Rightarrow A>98\)\(\left(2\right)\)

từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(98< A< 99\)

vậy A không phải là số tự nhiên

phần bạn đánh dấu (1) thì A<99 vì A= 99 trừ đi một số mà

nhận xét: với n là số tự nhiên, ta có (n-1)(n+1)=n(n+1)-(n+1)=n²+n-n-1=n²-1

do đó: 1.3=2²-1

           2.4=3²-1

            ........

           99.101=100²-1

=> \(A=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)

            \(=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{100^2}{100^2}-\frac{1}{100^2}\)

            \(=\left(\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}+...+\frac{100^2}{100^2}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)

            \(=\left(1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)

            \(=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)

Ta có:

 \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{100.101}

chẳng hiểu gì cả

đúng ko vậy

khó ợt ( dễ ợt )

yttjjy

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+......+\frac{9999}{10000}\)

\(=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+.......+\left(1-\frac{1}{10000}\right)\)

\(=\left(1+1+.....+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+.....+\frac{1}{10000}\right)\)

\(=99-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+.......+\frac{1}{10000}\right)\)( số các chữ số 1 bằng căn bậc 2 của mẫu rồi trừ đi 1 )

Đặt \(A=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+.........+\frac{1}{10000}\)

Ta có: \(4=2.2< 2.3\)\(\Rightarrow\frac{1}{4}>\frac{1}{2.3}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{9}>\frac{1}{3.4}\); ........ ; \(\frac{1}{10000}>\frac{1}{100.101}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{100.101}\)\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{101}=\frac{99}{202}\)

Ta lại có: \(4=2.2>1.2\)\(\Rightarrow\frac{1}{4}< \frac{1}{1.2}\)

Tương tự ta được: \(\frac{1}{9}< \frac{1}{2.3}\); ......... ; \(\frac{1}{10000}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.....+\frac{1}{100.101}\)\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{99}{202}< A< \frac{99}{100}\)\(\Rightarrow\)A không phải là số nguyên 

\(\Rightarrow99-A\)không là số nguyên \(\Rightarrow\)S không là số nguyên ( đpcm )

\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)

\(=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(1-\frac{1}{4^2}\right)+...+\left(1-\frac{1}{100^2}\right)\)(99 cặp)

\(=\left(1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)

          99 hạng tử 1                         99 hạng tử

\(=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)< 99 (1)

Lại có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+....+\frac{1}{100.100}\)

\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\)

Khi đó A = \(99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)>99-1=98\)(2)

(Vì \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)(cmt) 

Từ (1)(2) => 98 < A < 99 => A không là số tự nhiên

C = ( 1 - 1/4 ) + ( 1  - 1/9 ) + ( 1 - 1/16 ) + .. .+ ( 1 - 1/10000 )

C = 1 + 1 + ... + 1 - ( 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/10000 )

C = 1 + 1 + 1 +... + 1 - ( 1/2² + 1/3² + .. + 1/100² )

C = 99 - ( 1/2² + 1/3² + ... + 1/100² ) 

Mà 1/2² + 1/3² + ... + 1/100² < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/99.100 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + .. + 1/99 - 1/100 = 1 - 1/100 < 1 =>

C > 99 - 1 => C > 98

\(C=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+....+\frac{10000-1}{10000}.\)

\(C=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+.....+1-\frac{1}{10000}.\)

\(C=\left(1+1+....+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{10000}\right)\)

\(C=99-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{10000}\right)\)

ta có :\(\frac{1}{4}< 1,\frac{1}{9}< 1,......,\frac{1}{10000}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{10000}< 1\)

\(C=99-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{10000}\right)>98\)

vậy C>98

\(C=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)

\(=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+...+\left(1-\frac{1}{10000}\right)\)

\(=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{10000}\right)\)

\(=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)

Đặt D = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

.............

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow D>\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+..+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow C=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)>98\)(đpcm)

Hai bn trả lời đúng nhưng nguyễn thị thu huyền nhanh nhất nên...