Nếu a, b là những số thực và  a ≤ b   thì  a 2 ≤ b 2 ⇔ a 2 ≤ b 2

Với mọi x ta luôn có: - x ≤ x

Trung bình nhân là: Căn số bậc hai của tích của hai số. VD: + ở BĐT Cô-si: căn ab là trung bình nhân của a và b

                                                                                                + 6 là trung bình nhân của 4 và 9 vì 6 = \(\sqrt{4.9}\) 

Nếu a = b  và b >0 thì a = b  ( *)

*  Với a> 0 thì  từ (*) suy ra: a= b.

⇒ 1 a - 1 b ≤ 0

* Với a <  0  từ (*) – a = b; ta có:

⇒ 1 a < 0 ;   1 b = 1 - a = - 1 a ⇒ 1 a - 1 b = 1 a - - 1 a = 2 a < 0   ( vì a < 0 )

Như vậy, ta luôn có:  1 a - 1 b ≤ 0

Chọn B

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)

và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)

nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)

<=> 0\(\ge 0\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )

=> \(a\ge2ora\le-2\)

 BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT trên luôn đúng 

2 trường hợp:

1,m;n cùng dấu.

2,m;n khác dấu.

Chẵn,Lẻ.

Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)

Cauchy ngược dấu + Svacxo + gt coi 

Đúng

Vì nếu a là ước của b thì b ⋮ a.

Giả sử b = k.a, k ∈ N ⇒ b ⋮ k. Vậy k = b : a là ước của b.