Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc\)

Tương tự ta cũng có:

\(b^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{b^4.b^4.c^4.d^4}=4b^2cd\)

\(c^4+c^4+d^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^4.c^4.d^4.a^4}=4c^2da\)

\(d^4+d^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{d^4.d^4.a^4.b^4}=4d^2ab\)

Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:

\(4\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra.....

Thường là đề trên cho thêm dữ kiện a,b,c,d\(\ge0\), hoặc bạn có thể dùng dấu GTTĐ( Cũng làm như trên , nhưng áp dụngthêm \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\ge a\\\left|b\right|\ge b\end{matrix}\right.\))

Đây nhé! Tích giúp c nha

tra gút gồ đe=))

Đề HSG Nghệ An ak bạn 

P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\)) 

Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)

tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)

b. 

Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5

Do đó:

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)

- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố

\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)

Thay vào thỏa mãn

- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm

Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất

Ta có: a² + b² = c² + d² 

=> a² - c² = d² - b²

=> (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

Mà a + b = c + d

=> a - c = d - b

+) Nếu a = c

=> a - c = d - b = 0

=> d = b

=> a²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ và d²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴ 

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴              (1)

+) Nếu a \(\ne\) c

=> a - c = d - b  (khác 0)

=> d \(\ne\) b 

Có (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

=> a + c = d + c                     (2)

Mà a + b = c + d                     (3)

Lấy (2) + (3) ta được:

2a + b + c = 2d + b + c

=> 2a = 2d

=> a = d

=> c = b

=> a²⁰¹⁴ = d²⁰¹⁴ và c²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴                 (4)

Kết hợp (1) và (4) ta được: a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ (ĐPCM)

\(a,b,c>0;abc=1000\)

\(P=\sum\dfrac{a}{b^4+c^4+1000a}\le\sum\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a^2bc}=\sum\dfrac{a^2}{abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{1000\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{1000}\)

P đạt GTLN là 1/1000 khi \(a=b=c=10\)

\(b)\)

\(4n-3⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow3\left(4n-3\right)⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow12n-9⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow\left(12n-8\right)-1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow4\left(3n-2\right)-1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow3n-2\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow3n\in\left\{1;3\right\}\)

Mà: \(3n⋮3\)

\(\Leftrightarrow3n=3\)

\(\Leftrightarrow n=1\)