Xét dãy số sau:

2003; 20032003;....; 20032003...2003 (Có n số 2003; n > 2004 )

Nhận xét: các số trong dãy đều là các số lẻ nên không chia hết cho 2004 

=> Số bất kì trong dãy chia cho 2004 có thể dư 1;2;3;..; 2003

Dãy trên có nhiều hơn 2003 số nên theo Nguyên lý Dirichlê => có ít nhất 2 số chia cho 2004  có cùng số dư

=> số có dạng 20032003...2003...2003 (có 2003 + m số 2003 ) và số 2003..2003 (có m số 2003 ) có cùng số dư

=> Hiệu của chúng chia hết cho 2004  

Hay số 20032003...200300..00 (có 2003 số 2003 ) chia hết cho 2004

Xét dãy số gồm 2005 số hạng: 
2003, 20032003, ...2003.....(2003 con số 2003).. 2003, 
- xét phép chia từng số hạng của dãy trên cho số 2004 (2005 phép chia được thực hiện), khi đó chỉ có thể xảy ra 2004 số dư 1, 2, 3.....2004 ( không có dư 0 vì 2003..2003 không thể chia hết cho 2004 lí do 2004 là số chẳn chia hết cho 2, trong khi số có dạng 2003...2003 lẻ, không thể chia hết cho 2 => tất nhiên k thể chia hết cho 2004). 
- từ suy luận trên ta thấy có ít nhất hai phép chia trong 2005 phép chia có cùng số dư, 
giả sử hai số hạng thỏa đk trên là A và B (A<B) 
hay gọi dạng cụ thể là: A=2003...2003 (n số 2003), B=2003..2003 (m số 2003), m>n 
khi đó xét số D=B-A=2003...2003..000 (có n số 2003 và m-n số 0 ) , rõ ràng là D chia hết cho 2004 

Kết luận : tồn tại số theo đề bài cần chứng minh

- xét dãy số gom  2002 số hạng sau :

2003, 2003.... 2003 , 2003 ... 2003

2002 lan 2003 

chia tất cả số hạng của dãy số 2002 có 2002 số dư từ 1 đến 2002[ ko thể có số dư 0 vì các số hạng là số lẻ ]

có 2002 phép chia nên theo nguyên tắc dirichlet  phải có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia 2002

giả sử 2 số đó là am và an [m,n N];  1< = m

voi am = 2003 2003... 2003; an = 2003 2003 ... 2003

ta có :[an- am] chia het cho 2002

hay 2003 2003.... 2003 00 ...00 luon chia het cho 2002

vậy tồn tại có một số dạng 2003 2003 ... 20032003 ..... 200300 ...0 chia het cho 2002

k mk nha

Khi chia một số cho 2002 có tất cả 2002 số dư từ 0 đến 2001;

Xét dãy gồm 2003 số: 2003; 20032003; 200320032003, ...;200320032003...(gồm 2003 số 2003). khi chia các số trong dãy trên cho 2002 thì theo N.L Dirichle có ít nhất hai số chia cho 2002 có cùng số dư, nên hiệu của chúng chia hết cho 2002. Gọi hai số đó là 20032003...2003(gồm m số 2003) và 20032003...2003(gồm n số 2003), giả sử m<n, ta có:

20032003...2003(gồm n số 2003) - 20032003...2003(gồm m số 2003) Chia hết cho 2002

hay 20032003...200300...0(gồm n-m số 2003 và m số 0) chia hết cho 2002. Vậy, tốn tại số có dạng 20032003...200300...0 chia hết cho 2002

\(2007^{2005}-2003^{2003}=\left(...7\right)^{4.501}.\left(...7\right)^1-\left(...3\right)^{4.500}.\left(...3\right)^3=\left(...1\right).\left(...7\right)-\left(...1\right).\left(...7\right)\)\(=\left(...7\right)-\left(...7\right)=...0\).

Số này có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 hay có dạng 2k (k \(\in\) Z)

Do đó \(H=0,5.2k=\frac{1}{2}.2k=\frac{2k}{2}=k\) là số nguyên 

Ta có \(0.5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\)=  \(\frac{2007^{2005}-2003^{2003}}{2}\)

Vì \(2007^{2005}\)lẻ và \(2003^{2003}\)lẻ

\(\Rightarrow2007^{2005}-2003^{2003}\)chẵn

 \(\Rightarrow2007^{2005}-2003^{2003}⋮2\)

\(\Rightarrow0.5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\)là số nguyên (đpcm)

Phải chứng minh 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có tận cùng là 0

Ta có:

\(2007^{2005}-2003^{2003}=2007^{2004}.2007-2003^{2000}.2003^3\)

                                        \(=\left(2007^4\right)^{501}.2007-\left(2003^4\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right)^{501}.2007-\left(...1\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right).2007-\left(...1\right).\left(...7\right)\)

                                         \(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)

                                          \(=\left(...0\right)\)

=> 0,5.(2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là số nguyên

=> đpcm

2007^2005 là số lẻ

2003^2003 là số lẻ

=>2007^2005-2003^2003 là số chẵn chia hết cho 2

=>0,5(2007^2005-2003^2003)=(2007^2005-2003^2003) /2 là so nguyen dpcm

Ta có 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 7²⁰⁰⁵

2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 3²⁰⁰³

Ta có 7²⁰⁰⁵ = 7²⁰⁰⁴.7=(7⁴)⁵⁰⁴ = 2401⁵⁰¹.7 có chữ số tận cùng là 1 .7 = 7 

=> 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 1

Lại có : 3²⁰⁰³= 3²⁰⁰⁰.3³ = ( 3⁴ )⁵⁰⁰ .27 = 81⁵⁰⁰.27 có chữ số tận cùng là 1.7 =7 

=> 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 7

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 0 

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ chia hết cho 10 

=> 0,5 . ( 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là 1 số nguyên

=> đpcm

tham khảo

Vì P ( x ) = ax2ax2 + bx + c chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x nên :

P ( 0 ) ; P ( 1 ) ; P ( - 1 ) tất cả đều chia đều cho 5 .

Ta có :

P ( 0 ) chia hết cho 5

⇒ a . 0²+ b . 0 + c chia hết cho 5

⇒ c chia hết cho 5

P ( 1 ) chia hết cho 5

⇒ a . 1² + b . 1 + c chia hết cho 5

⇒ a + b + c chia hết cho 5

Vì c chia hết cho 5 ⇒ a + b chia hết cho 5 ( 1 )

P ( - 1 ) chia hết cho 5

⇒ a . (−1)2(−1)2 + b . ( - 1 ) + c chia hết cho 5

⇒ a + b + c chia hết cho 5

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ⇒ a + b + a - b chia hết cho 5

⇒ 2a chia hết cho 5

Mà ƯCLN ( 2 ; 3 ) = 1 ⇒ a chia hết cho 5

Vì a + b chia hết cho 5 ; a chia hết cho 5 ⇒ b chia hết cho 5

Vậy a , b , c chia hết cho 5 . ( đpcm )