Cho hình nón có đường sinh bằng 2a và góc ở đỉnh bằng 90 ° . Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng 60 ° . Khi đó diện tích thiết diện là :
A. 4 2 a 2 3
B. 2 a 2 3
C. 8 2 a 2 3
D. 5 2 a 2 3
Cho hình nón đỉnh I, đường cao SO và có độ dài đường sinh bằng 3cm, góc ở đỉnh bằng 60 ° . Gọi K là điểm thuộc đoạn SO thỏa mãn I O = 3 2 I K , cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) qua K và vuông góc với IO, khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S. Tính S.
Cắt hình nón đỉnh I bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 ; BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (IBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 ° . Tính theo a diện tích S của tam giác IBC.
A. S = a 2 2 3
B. S = 2 a 2 3
C. S = a 2 3
D. S = a 2 2 6
Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60°. Diện tích xung quanh S xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:
A. S xq = πa 2 ; V = πa 3 6 12
B. S xq = πa 2 2 ; V = πa 3 3 12
C. S xq = πa 2 2 ; V = πa 3 6 4
D. S xq = πa 2 ; V = πa 3 6 4
Đáp án A
Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là SAO ^ = 60°.
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 80 ° . Góc giữa đường thẳng chứa một đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng
A. 80 °
B. 10 °
C. 40 °
D. 50 °
Ta có:
Khi đó góc giữa đường sinh SA với mặt đáy là ∠ S A O .
Chọn D.
Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng α . Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho DI DO = k (0 < k < 1) . Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.
Thiết diện qua I và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính r’
với
Gọi s là diện tích của thiết diện và S là diện tích của đáy hình tròn ta có:
trong đó S = πr 2 = πl 2 cos 2 α
Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm I và vuông góc với trục hình nón là: s = k 2 s = k 2 πl 2 cos 2 α
Cho hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120 độ. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3, tính diện tích xung quanh S x q của hình nón (N).
A. 27 3 π
B. 18 3 π
C. 9 3 π
D. 36 3 π
Cho hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120 0 . Một mặt phẳng qua S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3, tính diện tích xung quanh S x q của hình nón N .
A. S x q = 36 3 π .
B. S x q = 27 3 π .
C. S x q = 18 3 π .
D. S x q = 9 3 π .
Đáp án C.
Phương pháp:
Diện tích xung quanh của hình nón: S x q = π R l
Cách giải:
Gọi M là trung điểm AB ⇒ O M ⊥ A B . Mà O M ⊥ S O (vì SO vuông góc với đáy)
⇒ OM là đoạn vuông góc chung của SO và AB
⇒ d S O ; A B = O M = 3
Tam giác OMA vuông tại M:
O A 2 = O M 2 + M A 2 ⇒ R 2 = 3 2 + M A 2 ⇒ M A = R 2 − 9
Tam giác SAB vuông tại A có S A = S B (Vì Δ S O B = Δ S O A c . g . c )
⇒ Δ S A B vuông cân tại S
⇒ S A = A B 2 = 2 A M 2 = A M . 2 = 3 R 2 − 18
(N) có góc ở đỉnh là
120 0 ⇒ A S O = 60 0
Tam giác SOA vuông tại O:
sin O S A = O A S A ⇒ sin 60 0 = R 3 R 2 − 18 = 3 2 ⇒ 2 R = 3 . 3 R 2 − 18 ⇔ 4 R 2 = 6 R 2 − 54
⇔ R 2 = 27 ⇒ R = 3 3 .
l = S A = 2 R 2 − 18 = 2.27 − 18 = 36 = 6
S x q = π R l = π .3 3 .6 = 18 π 3
II. Tự luận ( 4 điểm)
Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60°. Diện tích xung quanh S x q của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:
Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.
Theo giải thiết ta có đường sinh S A = a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là S A O ^ = 60 ° .
Trong tam giác vuông SAO, ta có:
Cho hình nón (N) có đỉnh O, góc ở đỉnh bằng 120o, độ dài đường sinh bằng a. Mặt phẳng qua O cắt hình nón theo một thiết diện có diện tích lớn nhất bằng:
A. 3 a 2 4
B. a 2 4
C. 3 a 2 2
D. a 2 2