Giải hệ phương trình:
\(16y-8x+16=5x^2+4xy-y^2\)
\(y^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\)
Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}y^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\\16x-8y+16=5x^2+4xy-y^2\end{cases}}\)
(d) qua A(5; 6) : y = mx - 5m + 6 (1)
(C) : (x - 1)² + (y - 2)² = 1 (2)
Thay y từ (1) vào (2) ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
(x - 1)² + (mx - 5m + 4)² = 1
Khai triển ra pt bậc 2 : (m² + 1)x² - 2(5m² - 4m + 1)x + 25m² - 40m + 17 = 0 (*)
Để (d) tiếp xúc (C) thì (*) phải có nghiệm kép
∆' = (5m² - 4m + 1)² - (m² + 1)(25m² - 40m + 17) = - 4(3m² - 8m + 4) = 4(m - 2)(2 - 3m) = 0 => m = 3/2; m = 2
KL : Có 2 đường thẳng cần tìm
(d1) : y = (3/2)(x - 1)
(d2) : y = 2x - 4
∆ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≤ ≥− ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★
giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}y^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\\16x-8y+16=5x^2+4xy-y^2\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2-y^2}=xy\left(x+3\right)\\x^2\left(1-4xy^2\right)=y^2\left(1+8x^2\right)\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình:\(\hept{\begin{cases}5x^2y-4xy^2+3y^3-2\left(x+y\right)=0\\xy\left(x^2+y^2\right)+2=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)\(\left(x;y\in R\right)\)
PT thứ hai của hệ tương đương với:
\(xy\left(x^2+y^2\right)+2=x^2+y^2+2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x^2+y^2-2\right)=0\)
+) TH1: xy = 1 thay vào PT thứ nhất của hệ đã cho được:
\(5x-4y+3y^3-2\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y^3-2y+x=0\)
\(\Leftrightarrow y^4-2y^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm1\)
TH2: x2 + y2 = 2, thay vào PT thứ nhất của hệ đã cho được:
\(5x^2y-4xy^2+3y^2-\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+4x^2y-5xy^2-x^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^3-x^3\right)+\left(y^3+4x^2y-5xy^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(2xy-x\right)=0\)
Với: x = y tìm đc 2 nghiệm: (x, y) = (1; 1); ( \(\pm\)1)
Với: x = 2y thay vào x2 + y2 = 2, ta có: \(y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\Rightarrow x=\pm2\sqrt{\frac{2}{5}}\)
Vậy HPT đã cho có 4 nghiệm: \(\left(x,y\right)=\left(1;1\right);\left(\pm1\right);\left(2\sqrt{\frac{2}{5}};\sqrt{\frac{2}{5}}\right);\left(-2\sqrt{\frac{2}{5}};-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)\)
giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2=\left(5x+4\right)\left(4-x\right)\\y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0\end{matrix}\right.\)
\(y^2-2\left(2x+4\right)y-5x^2+16x+16=0\)
\(\Delta'=\left(2x+4\right)^2+5x^2-16x-16=9x^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x+4+3x=5x+4\\y=2x+4-3x=4-x\end{matrix}\right.\)
- Với \(y=5x+4\) thay vào pt đầu:
\(\left(5x+4\right)^2-\left(5x+4\right)\left(4-x\right)=0\Rightarrow...\)
- Với \(y=4-x\) thay vào pt đầu:
\(\left(4-x\right)^2-\left(4-x\right)\left(5x+4\right)=0\Rightarrow...\)
Nghiệm nguyên dương của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\\16x-8y+16=5x^2+4xy-y^2\end{matrix}\right.\)là...
Biến đổi pt dưới:
\(y^2-8y+16=5x^2+4xy-16x\)
\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)^2=5x^2-4x\left(y-4\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(y-4\right)^2+4x\left(y-4\right)+4x^2=9x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y-4+2x\right)^2-9x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x-4\right)\left(y+5x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+4\\y=4-5x\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt trên:
TH1: \(y=x+4\Rightarrow\left(x+4\right)^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+7x^2-6x=0\)
\(\)\(\Leftrightarrow x\left(x^2+7x-6\right)=0\) (ko có nghiệm nguyên dương)
TH2: \(y=4-5x\Rightarrow\left(4-5x\right)^2=\left(x+8\right)\left(x^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-17x^2+42x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-17x+42\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=3\Rightarrow y=-11\left(l\right)\\x=14\Rightarrow y=-66\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ đã cho ko có cặp nghiệm nguyên dương nào
Giải hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2\left(8x^2+8y^2+4xy-13\right)+5=0\\2x+\frac{1}{x+y}=1\end{cases}}\)
bien doi phuong trinh 2 tim dc quan het cua x y roi thay vao pt 1 la ra
ĐK: x + y khác 0
\(\hept{\begin{cases}8x^2+8y^2+4xy-13+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=0\left(1\right)\\x+y+\frac{1}{x+y}+x-y=1\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow5\left(x+y\right)^2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+3\left(x-y\right)^2=13\)
<=> \(5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\)
Đặt: \(x+y+\frac{1}{x+y}=a;x-y=b\) ta có hệ :
\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\5a^2+3b^2=23\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}b=1-a\\5a^2+3\left(1-a\right)^2=23\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}a=-\frac{5}{4}\\b=\frac{9}{4}\end{cases}}\)
+) Với \(\orbr{\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}}\) ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x+y}=2\\x-y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x-y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)
+) Với \(\orbr{\begin{cases}a=-\frac{5}{4}\\b=\frac{9}{4}\end{cases}}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x+y}=-\frac{5}{4}\\x-y=\frac{9}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+\frac{5}{4}\left(x+y\right)+1=0\left(vonghiem\right)\\x-y=\frac{9}{4}\end{cases}}\) loại
Vậy ( x; y ) = ( 0; 1)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2\left(8x^2+8y^2+4xy-13\right)+5=0\left(1\right)\\2x+\frac{1}{x+y}=1\left(2\right)\end{cases}}\)
ĐKXĐ x+y\(\ne\)0
Chia pt (1) cho (x+y)2 ta được hệ \(\hept{\begin{cases}8\left(x^2+y^2\right)+4xy+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=13\\2x+\frac{1}{x+y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5\left[\left(x+y\right)^2+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right]+3\left(x-y\right)^2=13\\\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3x\left(x-y\right)^2=23\\\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\end{cases}}}\)
Đặt \(u=x+y+\frac{1}{x+y};v=x-y\left(ĐK:\left|x\right|\ge2\right)\)ta có hệ \(\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\left(3\right)\\u+v=1\left(4\right)\end{cases}}\)
Từ (4) rút u=1-v, thế vào (3) ta được
\(5u^2+3\left(1-u\right)^2=23\Leftrightarrow4u^2-3x-10=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2\\u=\frac{-5}{4}\end{cases}}\)
Trường hợp u=-5/4 loại vì |u| <2
Với u=2 => u=1 (tm) Khi đó ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x+y}=2\\x-y=-1\end{cases}}\)
Giải hệ trên bằng cách thế x=-1+y vào phương trình đầu ta được
\(2y-1+\frac{1}{2y-1}=2\Leftrightarrow y=1\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;1)
GIải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}5x^2+3x\sqrt{x^2-y}=3y+8\\\left(4x-2\right)\sqrt{x^2-y}=5x+2y-5x^2+2\end{matrix}\right.\)
1. Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+4xy=8\\\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)=8\end{matrix}\right.\)
2. chứng minh rằng với moi số nguyên n ta luôn có \(\left[\left(27n+5\right)^7+10\right]^7+\left[\left(10n+27\right)^7+5\right]^7+\left[\left(5n+10\right)^7+27\right]^7⋮42\)
1. \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+4xy=8\left(1\right)\\\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)=8\end{matrix}\right.\)
=> \(3x^2+3xy+xy+y^2=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(3x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)=0\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2-3x-y\right)=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x^2+xy+2-3x-y=0\end{matrix}\right.\)
TH1: x = -y thay vào pt (1), ta được:
3y2 + y2 - 4y2 = 8
<=> 0y = 8 (vô lí)
TH2: \(x^2+xy+2-3x-y=0\)
<=> x (x + y) - (x + y) - 2(x - 1) = 0
<=> (x - 1)(x + y) - 2(X - 1) = 0
<=> (x - 1)(x + y - 2) = 0
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)
Với x = 1 thay vào pt (1) -> 3 + y2 + 4y = 8
<=> y2 + 4y - 5 = 0 <=> (y + 5)(y - 1) = 0
<=> \(\left[{}\begin{matrix}y=-5\\y=1\end{matrix}\right.\)
Với x + y - 2 = 0 => x = 2 - y thay vào pt (1)
=> 3(2 - y)2 + y2 + 4(2 - y)y = 8
<=> 3y2 - 12y + 12 + y2 + 8 - 4y2 = 8
<=> 12 = 12y <=> y= 1 => x = 2 - 1 = 1
Vậy ....