1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

1) ta có: A= x^3 -8y^3=> A=(x-2y)(x^2 +2xy+4y^2)=>A=5.(29+2xy)   (vì x-2y=5 và x^2+4y^2=29)     (1)

Mặt khác : x-2y=5(gt)=> (x-2y)^2=25=> x^2-4xy+4y^2=25=>29-4xy=25(vì x^2+4y^2=29)

                                                                                          => xy=1    (2)

Thay (2) vào (1) ta đc: A= 5.(29+2.1)=155

Vậy gt của bt A là 155

2) theo bài ra ta có: a+b+c=0 => a+b=-c=>(a+b)^2=c^2=> a^2 +b^2+2ab=c^2=>c^2-a^2-b^2=2ab

=> \(\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=4a^2b^2\)

=>\(c^4+a^4+b^4-2c^2a^2+2a^2b^2-2b^2c^2=4a^2b^2\)

=>\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

=>\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

=> \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) (đpcm)

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{4}{5}\)

⇒a=2, b=4, c=20

??????????????/////

`a/b +1/4=3/8`

`=>a/b=3/8-1/4`

`=>a/b=3/8-2/8`

`=>a/b=1/8`

`->B`

B nha bn

b

Dựa vào công thức: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{1}{k+1}+\frac{a-r}{b\left(k+1\right)}\) với k là thương của b cho a, r là số dư của phép chia của b cho a.

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}\)

lêhằngnga còn nhiều trg hợp

khác 

có 12 trg hợp

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow a,b,c\ne0\)

Do a,b,c có vai trò như nhau,giả sử:

\(0< a\le b\le c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{c}\)

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{a}\ge\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{1;2;3\right\}\)

Với a=1 thì không tồn tại b thỏa mãn.(tự c/m,ko chứng minh được thì ib)

Với a=2,ta có:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{b}\ge\frac{3}{10}\)

\(\Rightarrow b\in\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\)

Kiểm tra các trường hợp ta thấy b=5 thì c=10,b=4 thì c=20

Với a=3,ta có:

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}-\frac{1}{3}=\frac{7}{15}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{b}\ge\frac{7}{15}\)

\(\Rightarrow b\in\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)

Kiểm tra các giá trị của b thì không tìm được số tự nhiên c.

Vậy bộ số \(\left(a;b;c\right)\)thỏa mãn đề bài là:\(\left(2;5;10\right);\left(2;4;20\right)\)và các hoán vị của chúng.

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\\ =>5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=5.\frac{4}{5}.\\ =>\frac{5}{a}+\frac{5}{b}+\frac{5}{c}=4\\ \)

\(\frac{5bc}{abc}+\frac{5ac}{abc}+\frac{5ab}{abc}=4\\ =>\frac{5bc+5ac+5ab}{abc}=4\)

\(=>1500+bc+ac+ab=4.abc\\ =>1500+20a+11b+2c=4.abc\)

Xin lỗi tới đây mình hàng 

$\ge b\ge c>0$

$\Rightarrow \frac{1}{c}\ge \frac{1}{b}\ge \frac{1}{a}$

$\Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le \frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}$

$\iff \frac{4}{5}\le \frac{3}{c}$

$\Rightarrow 4c\le 15$

$\iff c\le 15:4$

$\iff c\le 3,75$

Mà $c\in N\ast \Rightarrow c\in \{1;2;3\}.$

Ta có $3$ trường hợp:

$T{}^{}:$

$c=1$ $\Rightarrow \frac{}{}$