Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt hai đường thẳng d : x 1 = y - 1 2 = z - 6 3 ; d ' : x - 1 1 = y + 2 1 = z - 3 - 1 .
A. ∆ : x = 2 y = 5 z = 12 + t
B. ∆ : x = - 2 y = - 5 z = 12 + t
C. ∆ : x = - 4 y = - 7 z = - 6 + t
D. ∆ : x = 4 y = 7 z = - 6 + t
Đáp án C.
Cách 1: Gọi A ( t ; 1 + 2 t ; 6 + 3 t ) và B 1 + t ' ; - 2 + t ' ; 3 - t ' lần lượt là giao điểm của ∆ với d và d'. Ta có: A B → = 1 + t ' - t ' ; - 3 + t ' - 2 t ; - 3 - t ' - 3 t .
Vì ∆ song song với trục Oz mà trục Oz có vtcp k → = 0 ; 0 ; 1 .
Suy ra 1 + t ' - t = 0 - 3 + t ' - 2 t = 0 ⇔ t = - 4 t ' = - 5 .
Vậy A = - 4 ; - 7 ; - 6 . Do đó ∆ có phương trình tham số x = - 4 y = - 7 z = - 6 + t .
Cách 2: Trục Oz có vtcp u o z → = 0 ; 0 ; 1 .
Đường thẳng d đi qua M(0;1;6) và vtcp u d → = 1 ; 2 ; 3 .
Đường thẳng d' đi qua N(1;-2;3) và có vtcp u d ' → = 1 ; 1 ; - 1 .
- Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d : x 1 = y - 1 2 = z - 6 3
⇒ n ( P ) → = u O z → , u d → = - 2 ; 1 ; 0 .
Mặt phẳng (P) có phương trình - 2 x + ( y - 1 ) = 0 ⇔ - 2 x + y - 1 = 0 .
- Gọi Q là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d ' : x - 1 1 = y + 2 1 = z - 3 - 1 song song với trục Oz và chứa d ' = x - 1 1 = y + 2 1 = z - 3 - 1
⇒ n Q → = u O z → , u d ' → = - 1 ; 1 ; 0 .
Mặt phẳng Q có phương trình
- 1 ( x + 1 ) + 1 . ( y + 2 ) + 0 . ( z - 3 ) = 0 ⇔ - x + y + 3 = 0 .
- Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng Q .
Gọi A ∈ ∆ ⇒ A ∈ P , A ∈ P , A ∈ Q ⇒ A - 4 ; - 7 ; - 6 .
Đường thẳng ∆ có vtcp u ∆ → cùng phương với n P → , n Q → = 0 ; 0 ; - 1 .
⇒ ∆ : x = - 4 y = - 7 t ∈ ℝ z = - 6 + t .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x - 3 1 = y - 3 3 = z 2 , mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và điểm A (1;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : x - 3 1 = y - 3 3 = z 2 , mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và điểm A (1;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng (α).
Chọn C
Gọi giao điểm của Δ và d là B nên ta có: B (3+t;3+3t;2t) 
Vì đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (α) nên:
Phương trình đường thẳng Δ đi qua A và nhận 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 -2t, z = -3. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (Oxy), song song với d sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỏ nhất
A. d: x = 1 + t, y = 2 -2t, z = 0
B. d: x = 1 + t, y = -2t, z = -3
C. d: x = t, y = 2 - 2t, z = -3
D. d: x = 1, y = 2, z = -3 + t
Đáp án A
*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Để khoảng cách giữa hai đường thẳng d và ∆ nhỏ nhất thì ∆ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và mp (Q).
* Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 có VTPT n Oxy → = (0; 0; 1).
Đường thẳng d đi qua A(1;2; -3) và có VTCP u d → = (1; -2; 0)
Suy ra, VTPT của (Q) là n Q → = [ u d → ; n Oxy → ] = (2; 1; 0)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: 2(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z + 3) = 0
Hay 2x + y -4 =0
* Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và (Q). Tập hợp các điểm thuộc ∆ là nghiệm hệ phương trình: 
* Đặt x = 1 + t thay vào (1) ta được: y = 4 - 2x = 4 - 2(1 + t) = 2 - 2t
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x+y-4z+1=0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số đường thẳng (d)
A. x = 1 + 5 t y = 2 - 6 t z = 3 + t
B. x = 1 - t y = 2 + 6 t z = 3 + t
C. x = 1 + 3 t y = 2 + 2 t z = 3 + t
D. x = 1 y = 2 t z = 2 + t
Đáp án D
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (d) cắt trục Oz tại điểm 
Cách giải:
Giả sử đường thẳng (d) cắt trục Oz tại điểm 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x+y-4z+1=0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số đường thẳng (d)
Đáp án D
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (d) cắt trục Oz tại điểm B(0;0;b)
Cách giải:
Giả sử đường thẳng (d) cắt trục Oz tại điểm B(0;0;b)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x+y-4z+1=0, đường thẳng d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
Chọn B
Gọi B (0;0;b) là giao điểm của đường thẳng d và trục Oz.
Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x + y - 4z + 1 = 0, đường thẳng d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
A . x = 1 + 5 t y = 2 - 6 t z = 3 + t
B . x = t y = 2 t z = 2 + t
C . x = 1 + 3 t y = 2 + 2 t z = 3 + t
D . x = 1 - t y = 2 + 6 t z = 3 + t
Chọn B
Gọi B(0; 0; b) là giao điểm của đường thẳng d và trục Oz.
Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = 0 y = t z = 1 . Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều đường thẳng d và trục x′Ox.
A. z-1/2=0.
B. z+1/2=0.
C. z-1=0.
D. z+1=0
