Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, SA = 2a và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết AD = 2a, AB = BC = CD = a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy lớn AD = 2a, AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a 2 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. R = a 6 3
B. R = a 2 2
C. R = a 3 2
D. R = a 6 2
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có AB=CD=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có AB = CD = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD
A. 8 2 π a 3 3
B. 16 π a 3 3
C. 16 2 π a 3 6
D. 32 2 π a 3 3
Đáp án A
Phương pháp:
Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp
- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Vẽ đường thẳng (d) qua O và vuông góc đáy.
- Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì cắt (d) tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm và bán kính R = IA = IB =IC = …
Cách giải:
ABCD là hình thang cân => ABCD là tứ giác nội tiếp => Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trùng với đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD.
Gọi I là trung điểm AD. Do AB = CD = BC = a, AD = 2a, ta dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD, SA.
Þ MI, MN là các đường trung bình của tam giác SAD
Þ MI//SA, MN//AD
Mà
Þ MB = MC = MD = MA, MN là trung trực của SA
Þ MB = MC = MD = MS (=MA)
Þ M là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD
Bán kính
Thể tích mặt cầu:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với AB=BC=CD=a, AD=2a, SA=SB=SD= a 2 . Tính diện tích s của mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), SA = 2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng:
A. 2 πa 2
B. πa 2
C. 3 πa 2
D. 6 πa 2
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), S A = 2 a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng:
A. 2 π a 2
B. π a 2
C. 3 π a 2
D. 6 π a 2
Đáp án D
Ta có R = S A 2 4 + R d 2 = a 2 + a 2 2 2 = a 3 2 ⇒ S = 4 π R 2 = 6 π a 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC. AD = 2a,AB = BC = CD = a, B A D ⏞ = 60 o . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SD tao với mặt phẳng (ABCD) góc 45 o . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD ?
A. V = a 3 3 6 .
B. V = a 3 3 2 .
C. V = 3 a 3 3 2 .
D. V = a 3 3 .
Đáp án B.
Hướng dẫn giải:Ta có
Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD =2a .
Trong hình thang ABCD , kẻ B H ⊥ A D ( H ∈ A D ) .
Do ABCD là hình thang cân nên A H = A D - B C 2 = a 2 .
Tam giác AHB ,có B H = A B 2 - A H 2 = a 3 2
Diện tích S A B C D = 1 2 ( A D + B C ) . B H = 3 a 3 2 4 .
Vậy V S . A B C D = 1 3 S A B C D . S A = a 3 3 2
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có AB=CD=BC=a,AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD là
A. 8 2 πa 3 3
B. 16 2 πa 3 3
C. 16 πa 3 3
D. 32 2 πa 3 3
ABCD là hình thang cân có AB=CD=BC=2a,AD=2a ⇒ ABCD
là 1 nửa của hình lục giác đều, có tâm O là trung điểm của AD.
Gọi I là trung điểm của SD ⇒ OI//SA
Mà S A ⊥ ( A B C D ) ⇒ O I ⊥ ( A B C D ) ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp S.ABCD ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD là:
R = S D 2 = S A 2 + A D 2 2 = 2 a 2 2 = a 2
Thể tích khối cầu đó là:
V = 4 3 πR 3 = 4 3 π a 2 3 = 8 πa 3 2 3
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có A B = C D = B C = a , A D = 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD là:
A. 8 2 π a 3 3
B. 16 2 π a 3 3
C. 16 π a 3 3
D. 32 2 π a 3 3
Đáp án A
Phương pháp:
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:
- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy
- Dựng mặt phẳng trung trực α của một cạnh bên nào đó
- Xác định I = α ∩ d I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho