Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x − 2 2 + y − 3 2 + z − 5 2 = 9 và tam giác ABC với A 5 ; 0 ; 0 , B 0 ; 3 ; 0 , C 4 ; 5 ; 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.
A. M 0 ; 0 ; 3
B. M 2 ; 3 ; 2
C. M 2 ; 3 ; 8
D. M 0 ; 0 ; − 3
Đáp án C
Mặt cầu (S) có tâm I 2 ; 3 ; 5 ,
Dễ thấy các điểm A, B, C nằm ngoài (S)
Ta có z A = z B = z C = 0 ⇒ A B C : z = 0
V M A B C = S A B C d M ; A B C 3 ≤ S A B C d I ; A B C + R 3
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng
∆
qua tâm I vuông góc (ABC) và xa mặt phẳng(ABC) hơn
⇒
M
2
;
3
;
8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1); B(3;4;1) và C(4;1;-1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC =5
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)
Bán kính của (S) là \(R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)
Phương trình của (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=3\)
Gọi \(M\left(0;0;t\right)\in Oz\)
Do \(V_{MABC}=5\) nên \(\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\overrightarrow{AM}\right|=5\Leftrightarrow\left|11+4t\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left|11=4t\right|=15\Leftrightarrow\begin{cases}11+4t=15\\11+4t=-15\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)\\t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M\left(0;0;-\frac{13}{2}\right)\end{cases}\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 6 z + 7 = 0
Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu sao cho góc AMB = 90 o . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?
A. 4
B. 2
C. 4π
D. Không tồn tại.
Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 2 2 = 9 và hai điểm M(4;-4;2),N(6;0;6) Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất.
A. x-2y+2z+8 = 0
B. 2x+y-2z-9=0
C. 2x+2y+z+1 = 0
D. 2x-2y+x+0 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;0;0), B(3;2;4), C(0;5;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxyz) sao cho M A → + M B → + 2 M C → nhỏ nhất.
A. M(1;-3;0)
B. M(1;3;0)
C. M(3;1;0)
D. M(2;6;0)
Đáp án B
Gọi I là trung điểm thỏa mãn
Khi đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và hai điểm M 4 ; − 4 ; 2 , N 6 ; 0 ; 6 . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.
A. x − 2 y + 2 z + 8 = 0.
B. 2 x + y − 2 z − 9 = 0.
C. 2 x + 2 y + z + 1 = 0.
D. 2 x - 2 y + z + 9 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z - 14 = 0 và mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 . Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới (P) lớn nhất.
A. M=(-1;-1''-3)
B. M=(1;-1;-3)
C. M=(-1;1;-3)
D. M=(-1;-1;3)
Chọn A.
Phương pháp: Điểm M là một trong hai giao điểm của đường thẳng (đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng) với mặt cầu.
Cách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu vuông góc với mặt phẳng (P) là:
Vậy M = (-1;-1;-3)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x − 1 2 + y − 2 2 + z − 3 2 = 9 tâm I và mặt phẳng P : 2 x + 2 y − z + 24 = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tính tọa độ điểm M.
A. M(-1;0;4)
B. M(0;1;2)
C. M(3;4;2)
D. M(4;1;2)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 1 ; 0 ; 2 ) , B ( 3 ; 1 ; 4 ) , C ( 3 ; - 2 ; 1 ) . Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng 3 11 2 và S có cao độ âm
và tam giác ABC với 
Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.
