Cho hình chóp S.ABCD có ABC=ADC= 90 o cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60 o , CD=a và tam giác ADC có diện tích bằng Diện a 2 3 2 . Diện tích mặt cầu S m c ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
Cho hình chóp S.ABCD có A B C ⏜ = A D C ⏜ = 90 ∘ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60 ∘ , C D = a và tam giác ADC có diện tích bằng a 2 3 2 . Diện tích mặt cầu S m c ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
A. S m c = 16 π a 2
B. S m c = 4 π a 2
C. S m c = 32 π a 2
D. S m c = 8 π a 2
Đáp án A
Tam giác ADC vuông tại D ⇒ S Δ A D C = 1 2 . A D . C D = a 2 3 2
⇒ C D = a 3 ⇒ A C = A D 2 + C D 2 = a 2 + a 3 2 = 2 a .
Vì tứ giác ABCD có A B C ⏜ = A D C ⏜ = 90 ∘ ⇒ A B C D là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O với O là trung điểm của AC ⇒ R A B C D = A C 2 = a .
Và S A ⊥ A B C D ⇒ S C ; A B C D ⏜ = S C ; A C ⏜ = S C A ⏜ = 60 ∘
Tam giác SAC vuông tại A ⇒ tan S C A ⏜ = S A A C ⇒ S A = 2 a 3 .
Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là:
R = R 2 A B C D + S A 2 4 = 2 a ⇒ S m c = 16 π a 2 .
Cho hình chóp S.ABCD có A B C ^ = A D C ^ = 90 ° . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng A B C D , góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60°, C D = a và Δ A D C có diện tích bằng a 2 3 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
A. S = 16 π a 2
B. S = 4 π a 2
C. S = 32 π a 2
D. S = 8 π a 2
Đáp án A.
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có
C B ⊥ A B , C B ⊥ S A , A B ∩ S A = A ⇒ C B ⊥ S A B ⇒ C B ⊥ S B ⇒ Δ S B C
vuông tại B.
Lại có
C D ⊥ A D , C D ⊥ S A , A D ∩ S A = A ⇒ C D ⊥ S A D ⇒ C D ⊥ S D
⇒ Δ S D C vuông tại D.
Mặt khác S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ A C ⇒ Δ S A C vuông tại A.
Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: Δ S A C , Δ S B C , Δ S D C lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên I S = I A = I B = I C = I D = 1 2 S C . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính R = 1 2 S C
2. Tính diện tích mặt cầu
Ta có S C , A B C D ^ = S C , A C ^ = S C A ^ = 60 °
Do Δ A D C vuông tại A nên S ?A C = 1 2 A D . C D ⇔ A D = 2 S Δ A D C C D = a 2 3 a = a 3
⇒ A C = A D 2 + C D 2 = a 3 2 + a 2 = 2 a
Mà A C = S C . cos S C A ^ ⇒ S C = 2 a cos 60 ° = 4 a
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R = S C 2 = 4 a 2 = 2 a và diện tích mặt cầu là S = 4 π R 2 = 4 π . 2 a 2 = 16 π a 2 (đvdt).
Cho hình chóp S.ABCD có A B C = A D C = 90 ° , SA vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi SC và đáy ABCD bằng 60 ° , CD = a và tam giác ADC có diện tích bằng 3 a 2 2 . Diện tích mặt cầu S m c ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
A. S m c = 16 π a 2
B. S m c = 4 π a 2
C. S m c = 32 π a 2
D. S m c = 8 π a 2
Đáp án A
Ta có SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD vì các góc ở đỉnh A, B, D đều nhìn SC dưới góc 90 độ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60 ° Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM
A. 2 a 11
B. 6 a 11
C. a 11
D. 3 a 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
A. arcsin 1 4 B. arcsin 1 3 C. arcsin 1 3 D. arcsin 2 3
B. arcsin 1 3
C. arcsin 1 3
D. arcsin 2 3
Đáp án A.
Gọi H là hình chiếu của C trên SO và góc S O C ^ tù nên H nằm ngoài đoạn SO => CH ⊥ (SBD)
=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là C S O ^
Lại có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
A. arcsin 1 4 .
B. arcsin 1 3 .
C. arcsin 1 3 .
D. arcsin 2 3 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=1 và AD= 3 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy vầcnhj SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 ° Tính thể tích V của khối chóp S,ABCD
A. V=3
B. V=2
C. V=6
D. V=1
Đáp án B
A C = 2 S A = 2 tan 60 0 = 2 3 V = 1 3 .2 3 .1. 3 = 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45° và SC = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B = a , A D = 2 a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 ° . Gọi M, N là trung điểm các cạnh bên SA và SB. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (DMN) bằng
A. 2 a 465 31
B. a 31 60
C. a 60 31
D. 2 a 5 31
Xác định được
Vì M là trung điểm SA nên
Kẻ và chứng minh được nên
Trong ∆ vuông MAD tính được
Chọn A.