Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh a 2 2 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. R = a 39 7
B. R = a 35 7
C. R = a 37 6
D. R = a 39 6
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA = 2 a 3 3 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh a, S A = 2 a 3 3 . Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. R = a
B. R = a 2 2
C. R = a 37 6
D. R = a 35 6
Đáp án C.
Gọi G là trọng tâm , I là trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ox qua G và song song AB
CA = CB = CD => C là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABD
Gọi d là đường thẳng qua và vuông góc với (ABD)
Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp SABD là
Mà
=> R =
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh a, S A = 2 a 3 3 . Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD
A. R = a
B. R = a 2 2
C. R = a 37 6
D. R = a 35 6
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh a, S A = 2 a 3 3 . Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. R = a
B. R = a 2 2
C. a 3 3 12
D. a 3 3 6
Đáp án C.
Gọi G là trọng tâm Δ A B C ⇒ S G ⊥ ( A B C ) , I là trung điểm AB
A G = 2 3 . a 3 2 = a 3 3 ⇒ S G = S A 2 − A G 2 = a
I G = 1 3 C I = a 3 6
C G = a 3 3
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ox qua G và song song AB
⇒ G 0 ; 0 ; 0 , S 0 ; 0 ; a , C 0 ; a 3 3 ; 0 ; B a 2 ; a 3 6 ; 0
C A = C B = C D ⇒ C là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ A B D
Gọi d là đường thẳng qua C 0 ; a 3 3 ; 0 và vuông góc với (ABD)
⇒ V T P T k → = 0 ; 0 ; 1 ⇒ d : x = 0 y = a 3 3 z = t
Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp SABD là J ∈ d ⇒ J 0 ; a 3 3 ; t
Mà J S = J B ⇔ 0 2 + − a 3 3 2 + a − t 2 = a 2 2 + − a 3 6 − a 3 3 2 + t 2 ⇔ t = 1 6 a
⇒ R = 0 2 + a 3 3 2 + a − 1 6 a 2 = a 37 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B 1 , C 1 lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A, B, C, B 1 , C 1 .
A. a 3 2
B. a 3 3
C. a 3 4
D. a 3 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B 1 , C 1 lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A,B,C, B 1 , C 1 .
A. a 3 2
B. a 3 3
C. a 3 4
D. a 3 6
Đáp án B.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ I A = I B = I C (1).
Ta có ∆ S A C = ∆ S A B ⇒ A B 1 = A C 1 . Từ đây ta chứng minh được B 1 C 1 / / B C .
Gọi M là trung điểm của B C ⇒ B C ⊥ S A M ⇒ B 1 C 1 ⊥ S A M .
Gọi H = S M ∩ B 1 C 1 ⇒ H B 1 M B = H C 1 M C , do M B = M C nên H B 1 = H C 1
Mặt phẳng (SAM) đi qua trung điểm H của B 1 C 1 nên B 1 C 1 ⊥ S A M nên (SAM) là mặt phẳng trung trực của B 1 C 1 . Do I ∈ A M ⊂ S A M nên I B 1 = I C 1 (2).
Gọi N là trung điểm của AB, suy ra A B ⊥ I N S A ⊥ I N ⇒ I N ⊥ S A B .
Tam giác A B B 1 vuông tại B 1 có N là trung điểm của AB nên N A = N B 1 = 1 2 A B .
Như vậy ta có các tam giác vuông sau bằng nhau
∆ I N A = ∆ I N B = ∆ I N B 1 ⇒ I A = I B = I B 1 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra 5 điểm A,B,C, B 1 , C 1 cùng nằm trên mặt cầu tâm I, bán kính R = I A = 2 3 . a 3 2 = a 3 3 (do ABC là tam giác đều và I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ I cũng là trọng tâm tam giác ABC).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ∘ Gọi A ' , B ' , C ' lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua S. Thể tích của khối đa diện A B C A ' B ' C ' bằng
A. V = 2 3 3
B. V = 2 3
C. V = 4 3 3
D. V = 3 2
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 o C . Gọi A',B',C' lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua S. Thể tích của khối đa diện ABCA'B'C' bằng
A. V = 2 3 3
B. V = 2 3
C. V = 4 3 3
D. V = 3 2
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 . Gọi A',B',C' lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua S. Thể tích của khối đa diện ABCA'B'C' bằng
A. V = 2 3 3
B. V = 2 3
C. V = 4 3 3
D. V = 3 3