Ta có:

$p^2=5q^2+4$ chia 5 dư 4 suy ra $p=5k+2(k\in \mathbb{N}^*)$

Ta có:

$(5k+2)^2=5q^2+4\Leftrightarrow 5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2\vdots k$

Mặt khác q là số nguyên tố và $q>k$ nên $k=1$. Thay vào ta được $p=7,q=3$

Bài 2:

\( \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{{{y^2}}}{x} = 18\\ x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x \end{array} \right.\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)\\ \dfrac{{{x^2}}}{{12 - x}} + \dfrac{{{{\left( {12 - x} \right)}^2}}}{x} = 18\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \)

Với \(x=4\) \(\Rightarrow y=12-4=8\)

Với \(x=8\) \(\Rightarrow y=12-8=4\)

Vậy nghiệm hệ phương trình \(\left(4;8\right),\left(8;4\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=-1\left(1\right)\\x^2+y^2-xy=7\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+y^2+x+y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+x+y=6\)

\(\Leftrightarrow xy=\frac{\left(x+y\right)^2+x+y-6}{2}\)

Thay vào (1):\(2x+2y+\left(x+y\right)^2+x+y-6=-2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=1\\x+y=-4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=-2\\xy=3\end{matrix}\right.\)

Vậy x,y là nghiệm của pt:\(\left[{}\begin{matrix}X^2-X-2=0\\X^2+4X+3=0\end{matrix}\right.\)

Đến đây tự tìm x,y.

Cộng vế với vế:

\(x^2+2xy+y^2+x+y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)-6=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-3\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-3\\xy=5\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, x và y là nghiệm của:

\(t^2+3t+5=0\) (vô nghiệm)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=0\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, x và y là nghiệm:

\(t^2-2t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)

điều kiện xy \(\ge\) 0

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-\sqrt{xy}=7\\x^2+y^2+xy=133\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)-\sqrt{xy}=7\\\left(x+y\right)^2-xy=133\end{matrix}\right.\)

đặc x + y = a ; xy = b

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a-\sqrt{b}=7\\a^2-b=133\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7+\sqrt{b}\\\left(7+\sqrt{b}\right)^2-b=133\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7+\sqrt{b}\\49+14\sqrt{b}+b-b=133\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7+\sqrt{b}\\14\sqrt{b}=84\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7+\sqrt{b}\\\sqrt{b}=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=13\\b=36\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) x + y = 13 ; xy = 36

\(\Rightarrow\) x ; y là nghiệm của phương trình : x² - 13x + 36 = 0

bấm máy ta có : x = 4 ; x = 9

vậy x = 4 ; y = 9 hoặc x = 9 ; y = 4

xy = 36 (tmđk)

 a) Ta thấy \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\) và \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\) nên nếu đặt \(x+y=S,xy=P\) thì ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}S^3-3SP=2\\S^2-2P=2\end{matrix}\right.\) . Từ pt (2) suy ra \(P=\dfrac{S^2-2}{2}\). Thay vào (1), ta có \(S^3-3S.\dfrac{S^2-2}{2}=2\) \(\Leftrightarrow-S^3+6S-4=0\) hay \(S^3-6S+4=0\)

 Đến đây ta dễ dàng nhẩm ra được \(S=2\). Do đó ta lập sơ đồ Horner:

Nghĩa là từ \(S^3-6S+4=0\) ta sẽ có \(\left(S-2\right)\left(S^2+2S-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=2\\S=-1\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\).

 Nếu \(S=2\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1\). Ta thấy \(S^2-4P=0\) nên x, y sẽ là nghiệm của pt \(X^2-2X+1=0\Leftrightarrow\left(X-1\right)^2=0\Leftrightarrow X=1\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\).

 Nếu \(S=-1+\sqrt{3}\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1-\sqrt{3}\). Ta thấy \(S^2-4P>0\) nên x, y là nghiệm của pt \(X^2-\left(\sqrt{3}-1\right)X+1-\sqrt{3}=0\). \(\Delta=2\sqrt{3}\) nên \(X=\dfrac{\sqrt{3}-1\pm\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}}{2}\right)\) và hoán vị của nó. 

 Nếu \(S=-1-\sqrt{3}\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1+\sqrt{3}\). Mà \(S^2-4P=-2\sqrt{3}< 0\) nên không tìm được nghiệm (x; y)

 Như vậy hệ phương trình đã cho có các cặp nghiệm \(\left(1;1\right);\left(\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}\right)\)\(\left(\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}}{2}\right)\)

b) Ta thấy \(x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\)  nên nếu đặt \(S=x+y,P=xy\) thì ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}S^3-3SP+P=3\\S+P=3\end{matrix}\right.\), suy ra \(P=3-S\) 

\(\Rightarrow S^3-3S\left(3-S\right)+3-S=3\)

\(\Leftrightarrow S^3-10S+3S^2=0\)

\(\Leftrightarrow S\left(S^2+3S-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=0\\S=2\\S=-5\end{matrix}\right.\)

 Nếu \(S=0\) thì \(P=3\). Khi đó vì \(S^2-4P< 0\) nên không tìm được nghiệm (x; y)

 Nếu \(S=2\) thì suy ra \(P=1\). Ta có \(S^2-4P=0\) nên x, y là nghiệm của pt \(X^2-2X+1=0\Leftrightarrow X=1\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

 Nếu \(S=-5\) thì suy ra \(P=8\). Ta có \(S^2-4P< 0\) nên không thể tìm được nghiệm (x; y).

 Như vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(1;1\right)\)

Đặt \(\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}\) hpt đầu trở thành:

\(\begin{cases}S^2-P=9\\S+P=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}S^2-P=9\\S=3-P\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left(P-3\right)^2-P=9\)\(\Leftrightarrow P^2-7P+9-9=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(P-7\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}P=0\\P=7\end{array}\right.\)

Suy ra hệ đầu tương đương \(\begin{cases}x+y=3\\xy=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}\)

Suy ra hệ đầu tương đương \(\begin{cases}x+y=-4\\xy=7\end{cases}\) giải ra ta dc vô nghiệm

Vậy hệ pt trên có nghiệm (x;y) thỏa mãn là (3;0) và (0;3)

đối xứng loại 1 đặt ẩn bình lm j =))