2n + 1 > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2k + 2 = 2.2k + 1

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

ta có:

(a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b+6abc

=a³+b³+c³+(3a²b+3a²c+3abc)+(3b²a+3b²c+3abc)+(3c²a+3c²b+3abc)-3abc

=a³+b³+c³+3a.(ab+ac+bc)+3b(ab+ac+bc)+3c.(ab+ac+bc)-3abc

=a³+b³+c³+3.(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc

=>0³=a³+b³+c³+3.0.(ab+ac+bc)-3abc

0=a³+b³+c³-3abc

<=>a³ + b³ + c³ = 3abc

a + b + c = 0 =>  a + b  = -c 

TA có 

a^3 + b^3 + c^3 = ( a+ b)^3 - 3ab . ( a+ b) + c^3 

Thay  a +b = -c ta có 

a^3 + b^3 + c^3 = -c^3 - 3ab.(-c) + c^3 = 3abc (ĐPCM)

a+b+c=0

=>(a+b+c)³=0

=>a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+3a²c+3ac²+6abc=0

=>a³+b³+c³+(3a²b+3ab²+3abc)+(3b²c+3bc²+3abc)+(3a²c+3ac²+3abc)-3abc=0

=>a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc

Do a+b+c=0

=>a³+b³+c³=3abc(ĐPCM)

a 3 b 3 = a 3 3 . b 3 3 = a b 3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

a b 2 3 = a b b 3 3 = 1 b a b 3   b ≠ 0

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.