a: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>B,E,D,C cùng thuộc 1 đường tròn

b: Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

tâm là trung điểm I của BC

bán kính là BC/2

c: Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC(1)

ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI\(\perp\)BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,H,I thẳng hàng

ΔABC đều

mà BD,CE là các đường cao

nên BD,CE là các đường trung tuyến

=>D,E lần lượt là trung điểm của AC,AB

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại H

Do đó; H là trọng tâm của ΔABC

mà I là trung điểm của BC

nên \(AH=\dfrac{2}{3}AI\) và \(IH=\dfrac{1}{3}IA\)

ΔAIB vuông tại I

=>\(AB^2=AI^2+IB^2\)

=>\(AI^2=2^2-1^2=3\)

=>\(AI=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(HI=\dfrac{1}{3}HA=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}< \dfrac{1}{3}\cdot3=IB=R\)

=>H nằm trong (I)

\(IA=\sqrt{3}>1=IB=R\)

=>A nằm ngoài (I)

@ Trần Ngọc Huyền @  Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! . 

Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi

Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng

54 nha

a) Gọi I là trung điểm của BC

Do đó ta có EI và DI lần lượt là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền của tam giác vuông ECB và DBC

=> IB= IE= ID=IC

=> B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn 

b) Áp dụng định lí Pytago ta có:

BC² = 6² + 4²= 2\(\sqrt{3}\)=> IC = BC/2 = \(\sqrt{3}\)(cm)

a: Xét tứ giác BCDE có 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: BCDE là tứ giác nội tiếp

hay B,C,D,E cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét (O) có 

ΔAPC nội tiếp đường tròn

AC là đường kính

Do đó: ΔAPC vuông tại P

Xét (I) có 

ΔAQB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAQB vuông tại Q

Xét ΔAPC vuông tại P có PD là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AP^2=AD\cdot AC\left(1\right)\)

Xét ΔAQB vuông tại Q có QE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AQ^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(AB\cdot AE=AD\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AP=AQ

hay ΔAPQ cân tại A

1. Do BD , CE là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat{BDC}=90^o\)và \(\widehat{BEC}=90^o\)

Vì E , D nằm cùng 1 phía trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC nên tứ giác BCDE nội tiếp trong đường trong đường kính BC

2. Trên cung tròn đường kính BC ta có : \(\widehat{D_1}=\widehat{C_1}\)( cùng chắc cung \(\widebat{BE}\))

Trên đường tròn (O) , ta có : \(\widehat{M_1}=\widehat{C_1}\)( cùng chắn cung \(\widebat{BN}\))

Suy ra : \(\widehat{D_1}=\widehat{M_1}\Rightarrow MN//DE\)( do có 2 góc đồng vị bằng nhau )

3. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{AEH}=90^o\)( do CE vuông AB )

                                 \(\widehat{ADH}=90^o\)( do BD vuông AC )

\(\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^O\)nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là đường tròn đường kính AH , có bán kính bằng \(\frac{AH}{2}\)

Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) , ta có : 

\(\widehat{KBA}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )

\(\Rightarrow KB\perp AB\)

mà \(CE\perp AB\left(gt\right)\)nên KB // CH (1)

Chứng minh tương tự ta có KC // BH (2)

Từ (1) và (2) => BKCH là hình bình hành

Vì I là trung điểm của BC suy ra I cũng là trung điểm của KH . Mặt khác ta có O là trung điểm của AK nên \(OI=\frac{AH}{2}\). Do BC cố định nên I cố định suy ra Oi không đổi

Vậy khi điểm A di động trên cung lớn BC thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn không đổi 

Do tứ giác BCDE nội tiếp nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)( tính chất góc ngoài bằng góc trong đối diện ) (3)

Xét 2 tam giác ADE và ABC ta có \(\widehat{DAE}=\widehat{BAC}\), kết hợp với (3) ta có 2 tam giác này đồng dạng 

\(\Rightarrow\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\cos\widehat{DAB}\right)^2=\left(\cos\widehat{CAB}\right)^2\)

Do BC cố định nên cung nhỏ BC không đổi suy ra số đô góc CAB không đổi . Vậy để S_ADE đạt giá trị lớn nhất thì S_ABC cũng phải đạt giá trị lớn nhất . Điều này xảy ra khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung lớn BC