Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}\ne-\dfrac{1}{m}\)

=>\(m^2\ne-3\)(luôn đúng)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\3x+my=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\3x+m\cdot\left(mx-2\right)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x\left(m^2+3\right)=5+2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\y=\dfrac{2m^2+5m}{m^2+3}-2=\dfrac{2m^2+5m-2m^2-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\y=\dfrac{5m-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

\(x+y=\dfrac{3}{m^2+3}\)

=>\(\dfrac{2m+5+5m-6}{m^2+3}=\dfrac{3}{m^2+3}\)

=>\(7m-1=3\)

=>7m=4

=>m=4/7(nhận)

Ta có  2 x − y = 4 ( m − 1 ) x + 2 y = m

⇔ y = 2 x − 4 2 y = ( 1 − m ) x + m ⇔ y = 2 x − 4 y = 1 − m 2 x + m 2

Để hệ phương trình 2 x − y = 4 ( m − 1 ) x + 2 y = m vô nghiệm thì đường thẳng d: y = 2x – 4 song song với đường thẳng d’: y = 1 − m 2 x + m 2  suy ra

1 − m 2 = 2 m 2 ≠ − 4 ⇔ 1 − m = 4 m ≠ − 8 ⇔ m = − 3 m ≠ − 8 ⇔ m = − 3

Đáp án: D

Xét hệ x − ( m − 2 ) y = 2 ( m − 1 ) x − 2 y = m − 5

⇔ ( m − 2 ) y = x − 2 2 y = ( m − 1 ) x − m + 5 ⇔ ( m − 2 ) y = x − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2

TH1: Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2 ta có hệ 0. y = x − 2 y = 1 2 x + 3 2 ⇔ x = 2 y = 1 2 x + 3 2

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng x = 2 và y = 1 2 x + 3 2 cắt nhau

TH2: Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có hệ: ( m − 2 ) y = x − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2 ⇔ y = 1 m − 2 x − 2 m − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng: d : y = 1 m − 2 x − 2 m − 2 và d ' : y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2 cắt nhau

⇔ 1 m − 2 ≠ m − 1 2 ⇔ m   –   1 m   –   2 ≠ 2 ⇔   m 2 – 3 m + 2 ≠ 2   ⇔ m 2 – 3 m   0

Suy ra m ≠ {0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Đáp án: C

Để hệ phương trình 3 m x + y = − 2 m − 3 x − m y = − 1 + 3 m có vô số nghiệm thì

3 m − 3 = 1 − m = − 2 m − 1 + 3 m ⇔ 3 m 2 = 3 2 m 2 = 3 m − 1 ⇔ m = ± 1 2 m 2 − 3 m + 1 = 0 ⇔ m = ± 1 2 m − 1 m − 1 = 0

⇔ m = ± 1 m = 1 m = 1 2 ⇒ m = 1

Đáp án: B

+ TH1: Với m = 0 ta có hệ 5 y = − 15 − 4 x = 1 ⇔ y = − 3 x = − 1 4 hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên loại m = 0

+ TH2: Với m = k + 0

Để hệ phương trình 5 m x + 5 y = − 15 2 − 4 x − m y = 2 m + 1 có vô số nghiệm thì

5 m − 4 = 5 − m = − 15 2 2 m + 1 ⇔ − 5 m 2 = − 20 10 2 m + 1 = 15 m ⇔ m 2 = 4 20 m + 10 = 15 m

⇔ m = 2 m = − 2 m = − 2 ⇒ m = − 2 T M

Đáp án: C

Để hệ phương trình m x − 2 y = 1 2 x − m y = 2 m 2 có nghiệm duy nhất thì m 2 ≠ − 2 − m ⇔ m 2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2

Đáp án: D

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x+m\left(mx-2\right)=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x+m^2x-2m=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x\left(m^2+1\right)=3+2m\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=m.\dfrac{3+2m}{m^2+1}-2\\x=\dfrac{3+2m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3m+2m^2-2m^2-2}{m^2+1}\\x=\dfrac{3+2m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3m-2}{m^2+1}\\x=\dfrac{3+2m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(x+y=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{3m-2}{m^2+1}+\dfrac{3+2m}{m^2+1}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{3m-2+3+2m}{m^2+1}=0\\ \Rightarrow4m+1=0\\ \Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

x+y=0 \(\Rightarrow\) y=-x.

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+x=2\\x-mx=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(m+1\right)=2\\x\left(1-m\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{2}{m+1}=\dfrac{3}{1-m}\) \(\Rightarrow\) m=-1/5 (nhận).

a) Với m = -2

=> hpt trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-2x-y=-2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=2-x\\-x=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy S = {0; 2}

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\left(1\right)\\mx-y=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

=> x + mx = 2 + m 

<=> x(m + 1) = 2 + m

Để hpt có nghiệm duy nhất <=> \(m\ne-1\)

<=> x = \(\dfrac{m+2}{m+1}\) thay vào pt (1)

=> y = \(2-\dfrac{m+2}{m+1}=\dfrac{2m+2-m-2}{m+1}=\dfrac{m}{m+1}\)

Mà 3x - y = -10

=> \(3\cdot\dfrac{m+2}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}=-10\)

<=> \(\dfrac{2m+6}{m+1}=-10\) <=> m + 3 = -5(m + 1)

<=> 6m = -8 

<=> m = -4/3

c) Để hpt có nghiệm <=> m \(\ne\)-1

Do x;y \(\in\) Z <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+2}{m+1}\in Z\\\dfrac{m}{m+1}\in Z\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x=\dfrac{m+2}{m+1}=1+\dfrac{1}{m+1}\)

Để x nguyên <=> 1 \(⋮\)m + 1

<=> m +1 \(\in\)Ư(1) = {1; -1}

<=> m \(\in\) {0; -2}

Thay vào y :

với m = 0 => y = \(\dfrac{0}{0+1}=0\)(tm)

m = -2 => y = \(\dfrac{-2}{-2+1}=2\)(tm)

Vậy ....

Với k + 2 ≠ 0 ⇔ k ≠ -2 thì hệ phương trình có nghiệm :

Ta có:

P = x 2 + y 2 = x 2 + 2 x + 4 2

= 5 x 2 + 16 x + 16  

Vậy với k = (-31)/8 thì biểu thức P = x 2 + y 2  đạt giá trị nhỏ nhất