n=2

\(\Leftrightarrow n+3=5\)

hay n=2

n+3=5

n=2

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng nguyên lí kẹp. Cấu trúc đề thi hsg, thi chuyên thi violympic.

         (3n + 1)² =  9n² + 2n + 1 < 9n² + 3n + 4 \(\forall\) n \(\in\) N (1)

        (3n + 2)² =   (3n + 2).(3n +2) = 9n² + 12n + 4

 ⇒(3n + 2)²  ≥  9n² + 3n + 4 \(\forall\) n \(\in\) N (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: (3n +1)² < 9n² + 3n + 4 ≤ (3n + 2)²

 Vì (3n + 1)² và (3n +2)² là hai số chính phương liên tiếp nên 

9n² + 3n + 4 là số chính phương khi và chỉ khi:

 9n² + 3n + 4 = (3n + 2)²  ⇒ 9n² + 3n + 4 = 9n² + 12n + 4

 9n² + 12n + 4 - 9n² - 3n - 4 =  9n = 0 ⇒ n = 0

Vậy với n = 0 thì 9n² + 3n + 4 là  số chính phương.

\(5n+14=5n+15-1=5\left(n+3\right)-1⋮\left(n+3\right)\\ =>n+3\inƯ\left(1\right)\\ Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\\ =>n=\left\{-2;-4\right\}\)

mà n là số tự nhiên 

\(=>\) không có giá trị thoả mãn

vì : 5n+14 ⋮ n+ 2

⇒ ( 5n +10) +4 ⋮ ( n+2)

⇒ 5 (n + 2) + 4 ⋮ (n + 2)

mà : 5 (n + 2) ⋮ (n + 2)

nên: 4 ⋮ n + 2

⇒ n + 2 ϵ Ư (4)= {1;2;4}

Vì: n ϵ N ⇒ n + 2 ≥ 2

do đó : xảy ra hai trường hợp :

Vậy : n ϵ { 0;2}

\(5n+14⋮n+2\)

\(5\left(n+2\right)+4⋮n+2\)

\(4⋮n+2\)

\(n+2\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)

\(n\in\left\{0;2\right\}\)

Giải thích các bước giải:

 5n+14n+2=5n+10+4n+2=5.(n+2)+4n+2=5+4n+25n+14n+2=5n+10+4n+2=5.(n+2)+4n+2=5+4n+2

5n+14⋮n+2⇒n+2∈Ư(5n+14)⇔n+2∈Ư(4)5n+14⋮n+2⇒n+2∈Ư(5n+14)⇔n+2∈Ư(4)

⇒n+2∈⇒n+2∈{1;2;4}{1;2;4}

n+2=1⇒n=−1n+2=1⇒n=−1

n+2=2⇒n=0n+2=2⇒n=0

n+2=4⇒n=2n+2=4⇒n=2

Mà n∈Nn∈N

Vậy n∈n∈{0;2}

\(5n+14⋮n+2\)

\(\Rightarrow5n+10+4⋮n+2\)

\(\Rightarrow5\left(n+2\right)+4⋮\left(n+2\right)\)

Vậy n+2 là Ư(4)=(1;2;4)

\(n+2=1\Rightarrow n=-1\)

\(n+2=2\Rightarrow n=0\)

\(n+2=4\Rightarrow n=2\)

Vậy có 3 số tự nhiên n thỏa mãn 

Bn ơi hôm đấy là sinh nhật mình đó

\(5n+14=5n+10+4=5\left(n+2\right)+4⋮\left(n+2\right)\Leftrightarrow4⋮\left(n+2\right)\)

mà \(n\)là số tự nhiên nên \(n+2\inƯ\left(4\right)\)và \(n+2\ge2\).

Suy ra \(n+2\in\left\{2,4\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{0,2\right\}\).

bó tay

n thuộc (-1,-2,2,1)

TL :

n = -1 ; -2 ; 2 ; 1

HT

:)))