Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

tham khảo:

\(a) 2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)2 (1) Đặt Sn=2+5+8+...+(3n−1) Với n=1 ta có: S1=2=1(3.1+1)2 Giả sử (1) đúng với n=k(k≥1), tức là Sk=2+5+8+...+(3k−1)=k(3k+1)2 Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1 hay Sk+1=(k+1)(3k+4)2 Thật vậy ta có: Sk+1=2+5+8+...+(3k−1)+[3(k+1)−1]=Sk+3k+2=k(3k+1)2+3k+2=3k2+k+6k+42=3k2+7k+42=(k+1)(3k+4)2 Vậy (1) đúng với mọi k≥1 hay (1) đúng với mọi n∈N∗ b) 3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) (2) Đặt Sn=3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) Với n=1, ta có: S1=3=12(32−3) (hệ thức đúng) Giả sử (2) đúng với n=k(k≥1) tức là Sk=3+9+27+...+3k=12(3k+1−3) Ta chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là chứng minh Sk+1=12(3k+2−3) Thật vậy, ta có: Sk+1=3+9+27+...+3k+1=Sk+3k+1=12(3k+1−3)+3k+1=32.3k+1−32=12(3k+2−3)(đpcm) Vậy (2) đúng với mọi k≥1 hay đúng với mọi n∈N∗\)

Đặt vế trái bằng S n . Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có  với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh 

Thật vậy 

Với n = 1 thì 2 1   +   2   =   8   >   7   =   2 . 1   +   5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,

tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

3^k > 3k + 1

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3^{k + 1} > 9k + 3 <=> 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k - 1 > 0 nên

3^{k + 1} > 3k + 4 hay 3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

2^{k + 1} > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2^{k + 2} > 2(k + 1) + 3 <=> 2^{k + 2} > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2^{k + 2} > 4k + 6 <=> 2^{k + 2} > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2^{k + 2} > 2k + 5

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).

b)
Với \(n=8\)
\(2^{n-3}=2^{8-3}=2^5=32\); \(3n-1=3.8-1=23\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=8\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\left(k\ge8\right)\).
Nghĩa là: \(2^{k-3}>3k-1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1-3}>3\left(k+1\right)-1\)\(\Leftrightarrow2^{k-2}>3k+2\).
Thật vậy \(2^{k-2}=2.2^{k-3}>2\left(3k-1\right)=6k-2\)\(=3k+2+3k-4\).
Do \(k\ge8\) nên \(k-4>0\) vì vậy \(2^{k-2}>3k+2\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge8\).