a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên S_AGP = S_PGB

Tương tự, ta có: S_BGM = S_MGC và S_CGN = S_NGA.

Vì G là trọng tâm DABC Þ AG = 2GM.

Þ S_BGM = 1 2 S_ABG Þ S_BGM = S_AGP = S_PGB.

Chứng minh tương tự, ta suy ra được:

S_AGP = S_PGB = S_BGM = S_MGC = S_CGN = S_NGA

b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng 1 6  S_ABC, từ đó suy ra ĐPCM.

bài này khó lắm th ơi

ko ai giải hết!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

(Tự vẽ hình)

a)

Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABC cân tại A

=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABG và ΔACG có:

AB = AC(cmt)

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)

AG chung

=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)

b)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> GM // IC

Xét ΔBIG có M là trung điểm BC

Mà GM//IC

=> GM là đường trung bình của ΔBIC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Có AG//IC(cmt)

=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)

Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC

Mà AM cắt BN tại G

Nên G là trọng tâm ΔABC

=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM

=>AG = 2.GM

Mà IC = 2.GM(cm câu b)

=> AG = IC

Xét ΔGAC và ΔICA có:

AG = IC(cmt)

\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

AN = NC(BN là đường trung tuyến)

=> ΔGAC = ΔICA(gcg)

=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)

Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG

=> AI = BG(1)

Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)

=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)

=> \(\widehat{AGB}>90^0\)

=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG

=> AB>BG(2)

Từ (1) và (2) => AB > AI

=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)

vì tg ABC cân tại A
=> AM là đường phân giác 
=>góc BAG = góc CAG (t/c đường phân giác ) 
xét tam giác ABG và tam giác AGC có 
góc BAG = góc CAG (cmt) 
AG : chung 
AB = AC( gt ) 
=> tg AGB = tg AGC( C-G-C ) 

a)Ta có: △ABC có 2 đường trung tuyến BI và CK giao nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG là đường trung tuyến

Mà AG cắt BC tại M 

=> AM là đường trung tuyến

=> MB= MC

Xét tam giác ABC có K là TĐ AB ; G là TĐ của AD

=> KG // BD

Mà C thuộc KG

=> GC // BD.=> B₁ = C₁( 2 góc so le trong)

Xét tam giác BMC và tam giác CMG có

MB = MC; M₁ = M₂; B₁ = C₁

=> △BMC = △CMG (g . c . g) (1)

Từ (1)=> BD=GC (2 cạnh t/ứ)

Có CG + KG = CK

=>CG < CK

Mà BD = CG

=> BD < CK

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường cao và AM cũng là phân giác

Xét ΔABG và ΔACG có 

AB=AC

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

AG chung

Do đó: ΔABG=ΔACG

b: Xét ΔBIC có 

M là trung điểm của BC

MG//IC

Do đó: G là trung điểm của BI

Xét ΔBIC có

M là trung điểm của BC

G là trung điểm của BI

Do đó: MG là đường trung bình

=>MG=1/2CI

1:

Xét ΔABC có 

BI là trung tuyến

CK là trung tuyến

BI cắt CK tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

mà M là giao điểm của AG và BC

=>AG=2/3MA và M là trung điểm của BC

=>AG=2GM

=>GD=2GM

=>M là trung điểm của GD

Xét ΔMBD và ΔMCG có 

MB=MC

\(\widehat{BMD}=\widehat{CMG}\)

MD=MG

Do đó; ΔMBD=ΔMCG

2: Ta có: ΔMBD=ΔMCG

nên BD=CG

mà CG<CK

nên BD<CK