Chọn đáp án D

* Gọi (O’) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B.

Đường tròn (O’) cắt CB tại F khác B. Chứng minh E F   / /   A B .

Ta có:

Hai góc ở vị trí đồng vị  ⇒   E F / / A B

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90 °

Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

C H 2 = HA.HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : ∆ ACH =  ∆ ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  ∆ BCH =  ∆ BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  C H 2  = AE.BF

Ta có: OC ⊥ d (tính chất tiếp tuyến)

AE ⊥ d (gt)

BF ⊥ d (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.

Dễ thấy ^BNA = 90⁰. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA 

Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK

Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 360⁰ - ^ANM - ^KNM

= (180⁰ - ^ANM) + (180⁰ - ^KNM) = ^ABM + (180⁰ - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA

=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A

=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)

Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)

Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const

Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi

=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi

Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).

Ta có: AE // OC

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE