Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Kẻ OH ⊥ EF.
Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).
Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3).
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF ?
Vẽ OH⊥EFOH⊥EF.
Xét tam giác HOA vuông tại H ta có OH<OA
Suy ra EF>BC..
Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất.
Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
giải:
Vẽ OH⊥EFOH⊥EF.
Xét tam giác HOA vuông tại H ta có:
OH<OAOH<OA.
Suy ra EF>BC.EF>BC.
Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất.
Kẻ .
Trong tam giác vuông tại , ta có:
Suy ra
Kẻ .
Trong tam giác vuông tại , ta có:
Suy ra
Chú ý. Có thể khai thác bài 16 dưới dạng bài toán cực trị :
Qua điểm nằm trong đường tròn , dựng dây có độ dài nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong đường tròn, kẻ dây CD qua A và vuông góc với OA.
Chứng minh mọi dây EF qua A và không vuông góc với OA đều có độ dài lớn hơn độ dài dây.
Cho đường tròn (O) và M nằm bên trong đường tròn . Vẽ dây AB vuông góc OM tại M . Vẽ dây KH bất kì đi qua M và không vuông góc với OM . Hãy so sáng dây AB và HK
Cho một điểm I nằm bên trong đường tròn (O). Qua I kẻ một dây AB bất kì và kẻ dây CD vuông góc với OI, OI kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Bán kính OF vuông góc với AB tại H.
a) So sánh AB và CD.
b) So sánh IE và HF.
a CD <AB,b IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF
a) CD<AB,b)IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF
a/ Xét vuông tại :
(cạnh góc vuông<cạnh huyền)
Xét :
là đường vuông góc dây
là đường vuông góc dây
mà
b/ Vì
là bán kính
mà là bán kính
Ta có:
hay
Vậy
cho đường tròn (O;3cm) và điểm A nằm ngoài đường trong sao cho OA=6cm vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O (B là tiếp điểm) dây cung BC vuông góc vưới OA tại H
a) Kẻ đường thẳng a vuông góc với OA tại a. Xác định ví trí tương đối của đường thẳng a với đường tròn (O)
b) tính AB, góc AOB
c)CM: AC là tiếp tuyến của (O)
vẽ hình vs giải dùm e vs nhanh nha mn
tks ạ
b: \(AB=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔOAB vuông tại B có
\(\sin\widehat{AOB}=\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
hay \(\widehat{AOB}=60^0\)
Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, biết OA=2R. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại I.
a) Tia OA cắt (O) tại E. Tứ giác OBEC là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Đề bài cần bổ sung OA cắt (O) tại E sao cho E nằm giữa O và A.
Do $AB$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $AB\perp OB$ hay tam giác $ABO$ vuông tại $B$. Mà $AB=2BO$ (do $AB=2R; BO=R$). Do đó $\widehat{BOA}=60^0$
Tam giác $BOE$ có $BO=EO=R$ nên là tam giác cân. Mà $\widehat{BOE}=\widehat{BOA}=60^0$ nên $BOE$ là tam giác đều.
$\Rightarrow BO=BE(1)$$OB=OC$ và $OA\perp BC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$
$E\in OA$ nên $EB=EC(2)$
$OB=OC=R(3)$
Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow OC=BO=BE=EC$. Suy ra OBEC là hình thoi.
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) ( B là tiếp điểm).
a) Cm ∆ABO là tam giác vuông và tính độ dài AB theo R.
b) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Cm AC là tiếp tuyến của (O).
c) Cm ∆ABC đều.
a: BA là tiếp tuyến của (O) có B là tiếp điểm
=>OB\(\perp\)BA tại B
=>ΔOBA vuông tại B
ΔBOA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(BA=R\sqrt{3}\)
b: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)
Xét ΔOBA và ΔOCA có
OB=OC
\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔOCA
=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^0\)
=>AC là tiếp tuyến của (O)
c: Xét ΔABO vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{BAO}=30^0\)
ΔOBA=ΔOCA
=>\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) và AB=AC
=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=2\cdot30^0=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)
nên ΔABC đều