\(\widehat{N}=\widehat{P}=56^0\)

Đáp án B

a)Ta có:`MN^2+MP^2=a^2+a^2=2a^2`

`NP^2=2a^2`

`=>MN^2+MP^2=NP^2`

`=>` tam giác MNP vuông cân

b)Xét tam giác vuông cân MNP có:

`MO` là trung tuyến

`=>MO` là đg cao

`=>MO bot NP`

`=>hat{MON}=90^o`

Vì `O` là trung đ NP

`=>NO=OP=(NP)/2=(asqrt2)/2`

`sin\hat{NMO}=(NO)/(MN)=(asqrt2/2)/a=sqrt2/2`

Tương tự với các cái còn lại.

a, do MN=MP=a=>\(\Delta MNP\) cân tại M

b, \(\Delta MNP\) cân tại M có MO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao

\(=>MO\perp NP\)=>\(\Delta NOM\) vuông tại O

có: \(NO=\dfrac{NP}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}cm\)

\(=>\sin\left(NMO\right)=\dfrac{NO}{NM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

theo pytago\(=>OM=\sqrt{MN^2-ON^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}cm\)

\(=>\cos\angle\left(NMO\right)=\dfrac{OM}{NM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(=>\tan\angle\left(NMO\right)=\dfrac{ON}{OM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}=1\)

tương tự \(=>\cot\angle\left(NMO\right)=1\)

Xét tam giác MAN và tam giác MAP có:

MN = MP (gt)

MA: cạnh chung

NA=AP (A là trung điểm của NP;gt)

=> Tam giác MAN = Tam giác MAP (c.c.c)

=> Góc N= Góc P (2 góc tương ứng)

Lời giải:

Xét tam giác $MNA$ và $MPA$ có:

$MA$ chung

$MN=MP$ (gt)

$NA=PA$ (do $A$ là trung điểm $NP$)

$\Rightarrow \triangle MNA=\triangle MPA$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{N}=\widehat{P}$ (đpcm)

Hình vẽ:

Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)