Cho a+b+c=0 (\(a\ne0,b\ne0,c\ne0\))
Tính GTBT
\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Các bạn nhớ trình bày cả cách giải!
Cho a , b, c là các hằng số : \(a\ne0,\)\(b\ne0,\)\(c\ne0\)và \(a+b+c=0\)
Rút gọn biểu thức
\(A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}-\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Ta có : \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)
\(\Rightarrow c^2-a^2-b^2=2ab\)
Tương tự :
\(b^2-c^2-a^2=2ac\)
\(a^2-b^2-c^2=2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Mà \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( cái này rất dễ chứng minh nha , bạn có thể tham khảo trên mạng hoặc nhắn tin cho mình )
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
#)Giải :
Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow a^2=\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2ab\)
Tương tự, ta có :
\(\sum\)\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\)\(\sum\)\(\frac{a^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
mình c/m \(a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3b^2a+b^3+c^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(a+b\right)=3abc\)(a+b+c=0)
Cho a+b+c=0 (\(a\ne0\), \(b\ne0\), \(c\ne0\)). Tính giá trị của biểu thức:
M= \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}\)+\(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}\)+\(\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\left(b+c\right)^2\\b^2=\left(a+c\right)^2\\c^2=\left(a+b\right)^2\end{matrix}\right.\)Thay vào M đc
\(M=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}\)\(\Leftrightarrow M=\frac{1}{2}\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\right)\)
Tháy hơi sai đề rồi
Cho \(a+b+c=0\) \(\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)
Cmr \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
ta thấy từ a+b+c=0 \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(được cm nhiều trg sách cx như trên mạng)
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
suy ra đpcm
Ta có : \(a+b+c=0\)
Lập phương 2 vế lên ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
mà \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta lại có:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=0\)
Theo chứng minh trên có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\frac{3abc}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow3-3=0\)( đúng )
Vậy với \(a+b+c=0\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)thì \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
Đến chỗ: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
=> \(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}\)
=> \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=3\)
=> \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}-3=0\) là đc rồi em nhé!
Dòng thứ 9 trở xuống là khồn đúng đâu nhé!
\(a+b+c=0\\ a,b,c\ne0\\ A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Cho \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\) và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\left(a\ne0,b\ne0,c\ne0\right)\)
CMR \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau ta đc
\(+)\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)(do a+b+c=1)
=> \(x+y+z=\frac{x}{a}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=\frac{x^2}{a^2}\left(1\right)\)
+) \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=>\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)(do a^2 +b^2 +c^2 =1)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{a^2}\left(2\right)\)
từ (1) zà (2)
=>\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(dpcm\right)\)
Có \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\) và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\left(a;b;c\ne0\right)\left(1\right)\)
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\left(\frac{x}{a}\right)^2=\left(\frac{y}{b}\right)^2=\left(\frac{z}{c}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\left(2\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\). Theo \(\left(1\right)\)
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\). Theo \(\left(2\right)\)
Có \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1^2=1\).
Từ các đẳng thức trên, ta suy ra : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{x+y+z}{1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1}=\frac{x^2+y^2+z^2}{1}\Leftrightarrow1\left(x+y+z\right)^2=1\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\Leftrightarrowđpcm\)
ối chồi ôi cái deck j đag diễn ra thế ???'
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\left(\frac{x}{a}\right)^2=\left(\frac{y}{b}\right)^2=\left(\frac{z}{c}\right)^2\)
Nhìn vào đây ng ta sẽ bảo là NGU HC
Cái j thế này, ôi ôi trời ơi, tớ phục cậu rồi Minh !
Cho \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\)và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)với \(a\ne0,b\ne0,c\ne0\)
Chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) vì a + b + c = 1
Do đó \((x+y+z)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)vì \(a^2+b^2+c^2=1\)
Vậy :
cho biết \(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=25;c^2+\frac{b^2}{3}=9;a^2+ac+c^2=16\)và \(a\ne0;c\ne0;a\ne-c\)
CMR \(\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+\frac{b^2}{3}=c^2+\frac{b^2}{3}+a^2+ac+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab=2c^2+ca\Leftrightarrow ab+ac=2c^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=2c\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\rightarrowđpcm\)
Cho biết \(a^2+ab+\frac{b^2}{3}=25;c^2+\frac{b^2}{3}=9;a^2+ac+c^2=16\)16 và \(a\ne0;c\ne0;a\ne-c\).Chứng minh rằng \(\frac{2c}{a}=\frac{b+c}{a+c}\)
Cho \(\hept{\begin{cases}a+b\ne0\\c\ne0\\c^2=2\left(ac+bc-ab\right)\end{cases}}\)CMR:\(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a-c}{b-c}\)