+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.

⇒ (un) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với mọi n.

⇒ (un) bị chặn dưới.

un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n

⇒ (un) bị chặn trên.

⇒ (un) bị chặn.

Ta có  u n = n − 1 n + 1 = 1 − 2 n + 1

Xét hiệu  u n + 1 − u n = 1 − 2 n + 2 − 1 − 2 n + 1

= 2 n + 1 − 2 n + 2 =    2 ( ​ n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) . ( n + 2 ) = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) > 0    ∀ n ∈ ℕ *

Kết luận dãy số ( u n )   là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (un) là dãy số tăng.

Lời giải:

Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$

$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ

Do đó dãy không tăng cũng không giảm.

Lời giải:

Có:
\(u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+4}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\)

\(=(\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

Do đó dãy đã cho là dãy giảm.

Lời giải:

Thấy rằng $u_n>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+12}}{n+1}: \frac{\sqrt{n+11}}{n}=\frac{\sqrt{n^2(n+12)}}{\sqrt{(n+1)^2(n+11)}}=\sqrt{\frac{n^3+12n^2}{n^3+13n^2+23n+11}}<1\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ 

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm.