Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

mà AB<AC

nên BD<CD

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.

Lời giải:

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

Ta có: AB < AC nên AE < AC

Suy ra E nằm giữa A và C.

Xét ΔABD và ΔAED, ta có:

AB = AE (theo cách vẽ)

∠(BAD) = ∠(EAD) (gt)

AD cạnh chung

Suy ra: ΔABD = ΔAED (c.g.c)

Suy ra: BD = DE (2 cạnh tương ứng)

và ∠(ABD) = ∠(AED) (2 góc tương ứng)

Mà: ∠(ABD) + ∠B1= 180o (2 góc kề bù)

∠(AED) + ∠E1= 180o (2 góc kề bù)

Suy ra: ∠B1= ∠E1

Trong ΔABC ta có ∠B1là góc ngoài tại đỉnh B

Ta có: ∠B1 > ∠C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠E1> ∠C

Suy ra: DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy BD < DC.

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB

AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C

Xét ∆ABD và ∆AED:

 AB = AE (theo cách vẽ)      

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\left(gt\right)\)

AD cạnh chung

Do đó: ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

=> BD = DE (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)(2 góc tương ứng)

\(\widehat{ABD}+\widehat{B_1}=180^0\)(2 góc kề bù)

\(\widehat{AED}+\widehat{E1}=180^0​\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{E_1}\)

Trong ∆ABC ta có\(\widehat{B_1}\)là góc ngoài tại đỉnh B.

\(\Rightarrow\widehat{B_1}>\widehat{C}\)(tính chất góc ngoài tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{E_1}>\widehat{C}\)

Trong ∆DEC ta có:\(\widehat{E_1}>\widehat{C}\)

=>DC > DE  (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Suy ra: BD < DC

Lấy điểm E trên AC sao cho AE = AB.

Xét hai tam giác \(\Delta ABD\)và \(\Delta AED\),ta có :

AB = AE (gt)

\(\widehat{A_2}=\widehat{A_1}\)(vì AD là tia phân giác)

AD chung

Do đó : \(\Delta ABD=\Delta AED\left(c.g.c\right)\Rightarrow BD=DE\)

\(\widehat{B_1}=\widehat{E_1}\Leftrightarrow\widehat{B_2}=\widehat{E_2}\)                    (1)

Mặt khác,ta lại có : \(\widehat{B_2}>\widehat{C}\)(vì góc B₂ là góc ngoài của tam giác ABC)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{E_2}>\widehat{C}\)

Khi đó trong \(\Delta CDE\)vì : \(\widehat{E_2}>\widehat{C}\Leftrightarrow CD>DE\Leftrightarrow CD>BD\)

b: Xét ΔBDE và ΔBCE có

BD=BC

\(\widehat{DBE}=\widehat{CBE}\)

BE chung

Do đó: ΔBDE=ΔBCE

c: Ta có: ΔBDC cân tại B

mà BF là đường phân giác

nên F là trung điểm của CD và BF\(\perp\)CD