\(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)=\left(x^2+bx+ax+ab\right)\left(x+c\right)\)

\(=x^3+cx^2+bx^2+bcx+ax^2+acx+abx+abc\)

\(=x^3+\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+ac+bc\right)x+abc\)

Đồnh nhất đa thức trên với đa thức \(x^3+ax^2+bx+c\),ta đc hệ điều kiện:

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=a\left(1\right)\\ab+ac+bc=b\left(2\right)\\abc=c\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)a+b+c=a=>b+c=0=>c=-b\)

Thay vào (2),ta đc: \(ab+a.\left(-b\right)+b.\left(-b\right)=b=>ab-ab-b^2=b=>-b^2=b\)

\(=>b^2+b=0=>b\left(b+1\right)=0=>\orbr{\begin{cases}b=0\\b=-1\end{cases}}\)

+b=0 thì từ (1) suy ra c=0 ; a tùy ý

+b=-1 thì từ (1) suy ra c=1

Mà theo (3)\(abc=c=>a=\frac{c}{bc}=\frac{1}{-1}=-1\)

Vậy a=-1 hoặc a tùy ý ;b=0 hoặc b=-1;c=0 hoặc c=1

đúng zồi

\(A=444....444=4.111.....111=4.\frac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=888.....888=8.111.....111=8.\frac{10^n-1}{9}\)

\(\Rightarrow A+2B+4=\frac{4.10^{2n}-4+16.10^n-16+36}{9}=\frac{4.10^{2n}+16.10^n+16}{9}=\left(\frac{2.10^n+4}{3}\right)^2\)

là số hính phương (đpcm)

2) Ta có :

\(x^4+6x^2+25=x^4+10x^2+25-4x^2=\left(x^2+5\right)^2-\left(2x\right)^2\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2+2x+5\right)\)(1)

\(3x^4+4x^2+28x+5=\left(3x^4+6x^3+x^2\right)+\left(-6x^3-12x^2-2x\right)+\left(15x^2+30x+5\right)\)

\(=x^2\left(3x^2+6x+1\right)-2x\left(3x^2+6x+1\right)+5\left(3x^2+6x+1\right)\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(3x^2+6x+1\right)\)(2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+5\Rightarrow f\left(2011\right)=2011^2-2.2011+5=4040104\)

a ) xy + 1 - x - y

= x ( y - 1 ) + 1 - y

= x ( y - 1 ) - ( y - 1 )

= ( x - 1 ) ( y - 1 )

b ) x² + ab + ac + bx

= ( b + x )x + a( b + c )

= ( b + x )1x + 1a( b + c )

= ( b + x ) ( x + a ) ( b + c )

c ) ax + bx - cx + a + b - c

= ( a + b - c )x + a + b - c

= ( a + b - c )x + ( a + b - c )1

= ( a + b - c ) ( x + 1 )