Theo bài ra, \(\left(50-2\right)⋮x,\left(40-4\right)⋮x,\left(45-3\right)⋮x\)

\(\Rightarrow48⋮x,36⋮x,42⋮x\Rightarrow x\inƯC\left(48;36;42\right)\)

\(48=2^4.3\)

\(36=2^2.3^2\)

\(42=2.3.7\)

\(ƯCLN\left(48;36;42\right)=2.3=6\)

Từ đó: \(x\inƯ\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)

Mà x > 3 (số chia > số dư)

Vậy x = 6

\(x-1\in\left\{1;6;2;3;-1;-6;-2;-3\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{2;7;3;4;0;-5;-1;-2\right\}\)

\(10⋮2x+1\)

\(\Rightarrow2x+1\in\left\{1;2;5;10;-1;-2;-5;-10\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{0;1;4;9;-2;-6;-11\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;\frac{1}{2};2;\frac{9}{2};-1;-3;-\frac{11}{2}\right\}\)

\(x+13⋮x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)+12⋮x+1\)

Do \(x+1⋮x+1\) nên \(12⋮x+1\)

\(\Rightarrow x+1\in\left\{1;12;6;2;4;3;-1;-12;-6;-2;-4;-3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;11;5;1;3;2;-2;-13;-7;-3;-5;-4\right\}\)

Giả sử : f( x) = ( x² - 1).g(x) + ax + b

*) Áp dụng định lý Bezout , ta có :

f( 1) = a + b

(=) 1¹⁰⁰ - 1⁵⁰ + 2.1²⁵ - 4 = a + b

(=) a + b = -2 (*)

*) Áp dụng định lý Bezout , ta có :

f( -1) = -a + b

(=) ( -1)¹⁰⁰ - ( -1)⁵⁰ + 2.(-1)²⁵ - 4

(=) -a + b = -6 (**)

Từ ( *,**) 2b =-8 -> b = -4 -> a = 2

Vậy số dư là : 2x - 4

Đặt \(P\left(x\right)=x^{100}-x^{50}-2x^{25}-4=\left(x^2-1\right).G\left(x\right)+ax+b\)

Phần dư khi chia cho \(x^2-1\) là \(ax+b\)

Ta có: \(P\left(1\right)=1-1-2-4=\left(1^2-1\right)G\left(1\right)+a+b=a+b\)

\(\Rightarrow a+b=-6\) (1)

\(P\left(-1\right)=1-1+2-4=\left[\left(-1\right)^2-1\right].G\left(-1\right)-a+b=-a+b\)

\(\Rightarrow-a+b=-2\) (2)

Từ 1 và 2 suy ra \(a=-2\) ; \(b=-4\)

Vậy phần dư là \(-2x-4\)