Giả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcmGiả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcm

#)Giải :

Giải sử cả ba BĐT đều đúng 

Ta có : a + b < c + d và ab + cd > ( a + b )( c + d )

=> ab + cd > ( a + b )² ≥ 4ab ( BĐT Cauchy )

=> cd ≥ 3ab (1)

Ta có : ( a + b )cd < ( c + d )ab và ( c + d )( a + b ) < ab + cd 

=> ( a + b )² .cd < ( c + d )( a + b )ab < ( ab + cd )ab

Mà ( a + b )² .cd ≥ 4abcd ( BĐT Cauchy ) 

=> ( ab + cd )ab > 4abcd

=> ab > 3cd (2)

Từ (1) và (2) => ab + cd > 4( ab + cd ) => ab + cd < 0 mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,d 

=> Không thể đồng thời xảy ra cả ba BĐT trên ( đpcm )

a+b=c+d => a=c+d-b
thay vào ab+1=cd
=> (c+d-b)*b+1=cd
<=> cb+db-cd+1-b^2=0
<=> b(c-b)-d(c-b)+1=0
<=> (b-d)(c-b)=-1
a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên
mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 TH:
TH1: b-d=-1 và c-b=1
<=> d=b+1 và c=b+1
=> c=d
TH2: b-d=1 và c-b=-1
<=> d=b-1 và c=b-1
=> c=d
Vậy từ 2 TH ta có c=d.

a ) Ta có : \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+ac+bc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2c^2ab\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8abc.0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

Lại có : \(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}=\dfrac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4}{2}=\dfrac{2\left(a^4+b^4+c^4\right)}{2}\)

\(=a^4+b^4+c^4\left(đpcm\right)\)

b ) \(a+b+c+d=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+\left(c+d\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+3a^2b+3b^2a+3c^2d+3d^2c=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(-a^2b-b^2a-c^2d-d^2c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left[-ab\left(a+b\right)-cd\left(c+d\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left[ab\left(c+d\right)-cd\left(c+d\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\left(đpcm\right)\)

Đề bài đúng mà bạn..có sai đâu...mình tính vẫn ra được kết quả cuối cùng

Viết đề............

bài 2 đề sai cmnr