1.

\(V=\pi \int ^4_1[x^{\frac{1}{2}}e^{\frac{x}{2}}]^2dx=\pi \int ^4_1(xe^x)dx\)

\(=\pi \int ^4_1xd(e^x)=\pi (|^4_1xe^x-\int ^4_1e^xdx)\)

\(=\pi |^4_1(xe^x-e^x)=\pi (3e^4)=3\pi e^4\) 

2.

\(V=\pi \int ^1_0(x\sqrt{\ln (x^3+1)})^2dx=\pi \int ^1_0x^2\ln (x^3+1)dx\)

\(=\frac{1}{3}\pi \int ^1_0\ln (x^3+1)d(x^3+1)\)

\(=\frac{1}{3}\pi \int ^2_1ln tdt=\frac{1}{3}\pi (|^2_1t\ln t-\int ^2_1td(\ln t))\)

\(=\frac{1}{3}\pi (|^2_1t\ln t-\int ^2_1dt)=\frac{1}{3}\pi |^2_1(t\ln t-t)=\frac{1}{3}\pi (2\ln 2-1)\)

Đáp án A

Chọn C.

Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ:

Chọn C

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và trục Ox là ln x = 0 ⇔ x = 1

Diện tích hình phẳng (H) là S = π . ∫ 1 k lnx d x = π . ∫ 1 k lnx d x . Đặt u = ln x d v = d x ⇔ d u = d x x v = x .

  ⇒ ∫ 1 1 ln x d x = x . ln x 1 k - ∫ 1 k d x = x . ln x - x 1 k = k . ln k - k + 1 = 1 ⇔ ln k = 1 ⇔ k = e .

Chọn A.

Ta có:   3 x - 1 ( 3 x + 1 ) 3 x + 1   =   0   ↔   3 x   =   1 ↔ x   =   0   . Rõ ràng  3 x - 1 ( 3 - x + 1 ) 3 x + 1   ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1]

Do đó diện tích của hình phẳng là S =  ∫ 0 1 3 x - 1 ( 3 - x + 1 ) 3 x + 1 d x =  =   ∫ 0 1 3 x - 1 ( 3 x + 1 ) 3 x + 1 .   3 x d x

Đặt t =  3 x + 1 , ta có khi x = 0 thì t = 2  , khi x = 1 thì t = 2 và 3^x = t²  - 1

Suy ra 3^x ln3dx = 2tdt, hay  3 x d x   =   2 t d t ln 3  . Khi đó ta có

Diện tích hình phẳng cần tính :

Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm

Phương trình hoành độ giao điểm:

Chọn đáp án C.