1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)

 \(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)

max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t

\(A=x^2+y^2=\frac{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge\frac{\left(1.x+1.y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)A min = 1 khi x =y = 1/2

\(\sqrt{A}=\sqrt{x^2+y^2}\le\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=x+y=1\)( \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\))

=> A\(\le1\) => Max A = 1 khi x =0;y =1 hoặc x =1 ; y =0

\(P^2=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2.\left(\frac{xy.yz}{zx}+\frac{yz.zx}{xy}+\frac{zx.xy}{zy}\right)\)

\(=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2.2016\)

Áp dụng BĐT Cauchy:\(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{z^2}.\frac{y^2z^2}{x^2}}=2y^2\)

\(\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{y^2z^2}{x^2}.\frac{z^2x^2}{y^2}}=2z^2\)

\(\frac{z^2x^2}{y^2}+\frac{x^2y^2}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2z^2}{y^2}.\frac{x^2y^2}{z^2}}=2x^2\)

Cộng theo vế ta được:\(2\left(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\right)\ge2x^2+2y^2+2z^2=2.2016\)

\(\Rightarrow\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\ge2016\)

\(\Rightarrow P^2\ge2016+2016.2=6048\Rightarrow P\ge\sqrt{6048}=12\sqrt{42}\)

Nên GTNN của P là \(12\sqrt{42}\) đạt được khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2016}{3}}=4\sqrt{42}\)

Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :

Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!

B1:

\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

Thật vậy !!!

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )

Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)

Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{504}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1007}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)

\(\ge4+2014=2018\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Vậy \(P_{min}=2018\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Ta có

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\frac{4}{9}}{2xy}+\frac{\frac{4}{9}}{2yz}+\frac{\frac{4}{9}}{2zx}\right)+\frac{7}{9}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(\ge\frac{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{9}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{9}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(=9+\frac{7}{9}.27=30\)

Vậy GTNN là 30 đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

lớp mấy

còn cách nào dễ hơn k bạn cosy ấy

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì 

\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)

bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác

bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.

e nhầm đoạn này r

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì 

\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ

Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.

Bài 5 cần gì dùng Mincopxki chi cho mệt nhỉ?

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left[2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)

Do đó: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{2x+\frac{1}{2x}}{\sqrt{2^2+\frac{1}{2^2}}}=\frac{4x+\frac{1}{x}}{\sqrt{17}}\)

Tương tự rồi cộng lại rồi dùng Cauchy-Schwarz