Anh vào đây nhé, link này có bài của anh này, chúc anh học tốt !

Câu hỏi của Tùng Lâm Phạm - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

ko bít

Mình chịu bạn nhé, muốn giúp mà ko đc.

Vì đa thức không thể được phân tích nhân tử, nên nó là một đa thức nguyên tố.

Số Nguyên Tố

Ở câu a ko có chữ " b " nhé

a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1

= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1

= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002 + C21001002 + …+ 10099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.

c) (1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +…+ (√10)99 + (√10)100

(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -…- (√10)99 + (√10)100

√10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] = 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ . (√10)99]

= 2(C1100 10 + C3100 102 +…+ 1050)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.

a) \(11^{10}-1=\left(10+1\right)^{10}-1\)\(=C^0_{10}10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^9_{10}10+C^{10}_{10}-1\)
\(=10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^8_{10}10^2+10.10\) chia hết cho 100.
b) \(\left(101\right)^{100}-1=\left(100+1\right)^{100}-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^1_{100}100+C_{100}^{100}100^0-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+100.100+1-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+10000\) chia hết cho 10000.

c) \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\)
Ta có: \(\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}=C^0_{100}\sqrt{10}^0+C^1_{100}\sqrt{10}^1+...+C_{100}^{100}\sqrt{10}^{100}\)
\(\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}=C^0_{100}\sqrt{10}^0-C^1_{100}\sqrt{10}^1+...+C_{100}^{100}\sqrt{10}^{100}\)
Vì vậy
\(\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\)\(=2\left(C^1_{100}\sqrt{10}^1+C^3_{100}\sqrt{10}^3+...+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{99}\right)\).
Ta có:
\(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\)\(=2.\sqrt{10}\left(C^1_{100}\sqrt{10}^1+C^3_{100}\sqrt{10}^3+...+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{99}\right)\)
\(=2\left(C^1_{100}\sqrt{10}^2+C^3_{100}\sqrt{10}^4+....+C^{99}_{100}\sqrt{10}^{100}\right)\)
\(=2\left(C^1_{100}10+C^3_{100}10^2+....+C^{99}_{100}10^{50}\right)\)\(\in N\).
nên \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\) là một số nguyên.

Ta có \(y=\frac{x}{4^5}=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{10}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{10}\)

Đặt \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\); \(a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

Xét \(S_n=a^n+b^n\) (\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S_n>0\) )

\(\Rightarrow S_0=2;\) \(S_1=3\);

Ta có \(S_1.S_n=\left(a+b\right)\left(a^n+b^n\right)=a^{n+1}+b^{n+1}+a.b^n+b.a^n\)

\(S_1S_n=a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n-1}+b^{n-1}\) (do \(a=\frac{1}{b}\) và \(b=\frac{1}{a}\))

\(S_1S_n=S_{n+1}+S_{n-1}\)

\(\Rightarrow S_{n+1}=2S_n-S_{n-1}\)

Do \(S_0\) và \(S_1\) nguyên \(\Rightarrow S_n\) nguyên với mọi \(n\ge1\)

\(\Rightarrow S_n\) nguyên dương với mọi \(n\ge1\)

\(\Rightarrow y=S_{10}\in N\Rightarrow x=4^5.y=1024.y⋮1024\)

\(\left(3+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(=\left(3+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\left(3+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\left(3+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)^2\)

\(=\left(3+\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)\)

\(=2\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\)

\(=2\left(9-5\right)\)