Tam giac ABC co chu vi bang 1, ba canh a,b,c thoa man dang thuc
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\)
Chung minh tam giac ABC deu
a) Goi a,b,c la do dai ba canh cua mot tam giac thoa man a3 + b3 + c3 = 3abc. Chung minh do la tam giac deu
b) Cho x y z duong va x+y+z = 1. Chung minh \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc = 0
<=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> a = b = c
=> tam giác đó là tam giác đều
b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
CM đúng (tự cm tđ)
Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0
Xét TH còn lại ta có :
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )
b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)( do GT x + y + z = 1 )
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
1.a) \(\frac{3}{4}\)x -- \(\frac{1}{3}\)= \(\frac{2}{3}\)x -- \(\frac{3}{5}\)
b) \(\frac{\left(-5\right)^{32}.20^{43}}{\left(-8\right)^{29}.125^{25}}\)
c) \(\left(\frac{1}{2}-x\right)^2\)= \(\left(-2\right)^2\)
2. Tim do dai 2 canh cua 1 hinh chu nhat ,biet ti so giua cac canh cua no bang 0,6 va chu vi bang 32cm .
3. Cho a = \(^{8^{12}.25^{19}}\). Tim so chu so cua a .
4. Cho tam giac ABC vuong tai A . Tia phan giac cua goc B cat canh AC tai D
a) Cho biet \(\widehat{ABC}\)= 400 . Tinh so do goc ABD
b) Tren canh BC lay diem E sao cho BE = BA . Chung minh tam giac BAD = tam giac BED va DE _|_ BC
c) Goi F la giao diem cua BA va ED . Chung minh rang tam giac ABC = tam giac EBF
d) Ve CK vuong goc voi BD tai K . Chung minh rang ba diem K , F , C thang hang .
Do dai 3 canh cua tam giac ABC la a,b,c thoa man dieu kien
(a-b)2+(b - c)2 = 0
Chung minh tam giac ABC la tam giac deu.
do (a-b)2\(\ge\)0 ;(b-c)2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a-b)2+(b-c)2\(\ge\)0
mà (a-b)2+(b-c)2=0 (đề bài cho)
\(\Rightarrow\)(a-b)2=0;(b-c)2=0
\(\Rightarrow\)a-b=b-c=0
\(\Rightarrow\)a=b=c
Vậy tam giác ABC đều
cho tam giac ABC co do dai 3 canh la a, b, c va chu vi tam giac la 2p
Chung minh rang: \(\frac{p}{p-a}\)+ \(\frac{p}{p-b}\)+ \(\frac{p}{p-c}\)>= 9
ta có: \(a+b+c=2p\Rightarrow2p-a-b-c=0\)
mặt khác ta có: \(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}=p\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\)
\(=\left(p-a+p-b+p-c\right)\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\) (*)
( vì \(2p-a-b-c=0\))
Đặt : \(p-a=x\left(x>0\right);p-b=y\left(y>0\right);p-c=z\left(z>0\right)\)
=>(*)<=>\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
mà \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) (tự chứng minh)
nên \(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}\ge9\) =>đpcm
Cho tam giac ABC co do dai ba canh la a, b, c va chu vi bang 1. Chung minh:
a2 +b2+c2 +4abc > 13/27
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Schur cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(2-2b)(1-2c)\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\)
Do đó: \(A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}-\frac{4}{9}\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{-2(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{-2}{27}\)
Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{29}{27}\Rightarrow A\geq \frac{29}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}\)
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi $3a=3b=3c=1$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Cho a, b, c la do dai ba canh cua mot tam giac . Chung minh rang :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
hỏi j khó vậy
Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Sử dụng liên tiếp 2 lần bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta thu được :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(< =>2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(< =>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cho tam giac co do dai 3 canh a , b ,c thoa man
\(\left(a+b-c\right)^3+\left(b+c-a\right)^3+\left(c+a-b\right)^3=a^3+b^3+c^3\)
chung minh tam giac do la tam giac deu
cho tam giac abc vuong tai a, duong cao ah
a. chung minh tam giac hba dong dang voi tam giac abc
b. chung minh ah^2 =hb* hc
c. tia phan giac cua goc ahc cat ac tai d . chung minh \(\frac{hb}{hc}\)=\(\frac{ad^2}{dc^2}\)
1 cho tam giac abc can a , goc a bang 40 do lay d khac phia b so voi ac thoa man goc cad bang 60 do goc cad bang 80 do chung minh bd vuong goc voi ac
2 cho tam giac abc vuong can a . d la diem bat ki tren ab. tren nua mat phang bo ab tu c ve tia bx sao cho goc abx bang 135 do. duong thang vuong goc voi dc ve tu d cat bx o e . chung minh tam giac dec vuong can
3 cho tam giac abc can b goc abc bang 80 do , i la diem trong tam giac sao cho goc iac bang 10 do, ica bang 30 do tinh goc abi
4 cho tam giac abc can a co goc a bang 100 do , bc =a, ac =b ve phia ngoai tam giac abc ve tam giac abd can d co goc adb bang 140 do tinh ch vi tam giac adb theo a,b
ve hinh gium minh voi , xin mn day