Question

Cho tam giac ABC co do dai ba canh la a, b, c va chu vi bang 1. Chung minh: 

a² +b²+c² +4abc > 13/27

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Schur cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(2-2b)(1-2c)\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\)

Do đó: \(A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}-\frac{4}{9}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{-2(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{-2}{27}\)

Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{29}{27}\Rightarrow A\geq \frac{29}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}\)

Do đó ta có đpcm

Dấu $=$ xảy ra khi $3a=3b=3c=1$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.