Question

cho a b c la 3 cach cua 1 tam giac thoa \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)'chứng minh tam giác abc đều

Answer 1

Trần Huy tâm: Nếu đề sửa như bạn nói thì làm ntn nha:

Theo bài ra ta có:

\(2(a^3+b^3+c^3)=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)

\(\Leftrightarrow [a^3+b^3-ab(a+b)]+[b^3+c^3-bc(b+c)]+[c^3+a^3-ca(c+a)]=0\)

\(\Leftrightarrow [a^2(a-b)-b^2(a-b)]+[b^2(b-c)-c^2(b-c)]+[c^2(c-a)-a^2(c-a)]=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)=0\)

Ta thấy với mọi $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác thì $(a-b)^2(a+b); (b-c)^2(b+c); (c-a)^2(c+a)\geq 0$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2(a+b)=(b-c)^2(b+c)=(c-a)^2(c+a)=0$

$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$ (do $a+b,b+c,c+a\neq 0$)

$\Rightarrow a=b=c$

Hay tam giác $ABC$ đều. Ta có đpcm.

Answer 2

Bạn xem lại đề xem có thiếu điều kiện gì không? 2 vế trong ĐKĐB không cùng bậc nên nếu không có thêm đk gì thì làm sao chứng minh được tam giác đều?