cho a,b,c là những số thực dương đôi một khác nhau thỏa mãn: căn (ab)+1/ căn a= căn (bc) +1/căn b= căn (ca) +1/ căn c
chứng minh rằng abc=1
Cho các số thực a,b thỏa a,b > 0 và 1/a + 1/b + 1/c = 0. Chứng minh rằng: căn a+c cộng căn b + c bằng căn a + b
Từ giả thiết ta có: `1/a+1/b+1/c=0=>ab+bc+ca=0`
Ta có:
`sqrt(a+c)+sqrt(b+c)=\sqrt(a+b)`
`=>(sqrt(a+c)+sqrt(b+c))^2=(sqrt(a+b))^2`
`<=>2c+2\sqrt((a+c)(b+c))=0`
`<=>2c+2\sqrt(ab+bc+ca+c^2)=0`
`<=>2\sqrt(c^2)+2c=0`
`<=>|c|+c=0(**)`
- Nếu `c>=0` thì `(**)<=>2c=0<=>c=0(` Mâu thuẫn với điều kiện toán học do không tồn tại `1/c=1/0)`
Vậy `c<0` do đó `(**)<=>0=0(` Luôn đúng `)`
Vậy ta có `đfcm`
giúp em câu này ạ
cho x,y là các số thực thỏa mãn
căn(2x+3) +căn(y+3) =4
tìm min p=căn(x+2 )+căn(y+9)
cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+ y+ z lớn hơn hoặc bằng 12
tìm GTNN của biểu thức P= x/ căn y + y/ căn z + z/ căn x
Cho a ,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn
a/(a+b)+b/(b+c)+c/c+d)+d/(d+a)=2
CM tích abcd là số chính phương
Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức căn(2/a) + căn(2/b) + căn(2/c) <= căn((a+b)/ab) + căn((b+c)/bc) + căn((c+a)/ac)
Cho a,b,c thực dương t.m: a+b+c=2
CMR: P = ab/căn ( ab+2c) + bc/căn( bc+2a) +ca/căn ( ca+2b)<=1
Ta có: a + b + c = 2 nên \(2c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ac+bc+c^2+ab\)
\(=\left(ca+c^2\right)+\left(bc+ab\right)=c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\)\(=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)(Vì a,b,c thực dương)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)\)(nhân 2 vế cho ab thực dương) (1)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow b+c=c+a\Leftrightarrow a=b\))
Tương tự ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow b=c\)) (2)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+a}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=c\)) (3)
Cộng các BĐT (1) , (2) , (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{cb}{c+a}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(c+b\right)}{c+b}+\frac{c\left(b+a\right)}{b+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Vậy \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\)\(+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\)\(+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\))
Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
Khi đó:
\(P\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
\(=\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{b+a}\)
\(=a+b+c=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Á á lộn rồi:(
\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\) nha !!
\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\right)\)
Khi đó:
cộng lại rồi làm tương tự
Cho a, b, c là các số thực dương và a+b+c=1 . Chứng minh : Căn ( ab/c+ab ) + Căn ( bc/a+bc ) + Căn (ac/b+ac) <= 3/2
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{ac+bc+c^2+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(tt\Rightarrow2\text{ lần biểu thức}=2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+2\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\le\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\left(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\right)=3\Rightarrow dpcm\)
Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn : \(\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}\)=6 . CM: A= abcd là số chính phương với abcd là số có bốn chữ số
Ai nuôi con chuột ?
Có 4 người đàn bà
Có 4 con thú nuôi
4 người đó là chị em của nhau
Người ở căn nhà số 4 có một con bò
Người ở căn nhà số 2 có cốc nước cam
Người ở căn nhà số 1 có 2 tầng
Người ở căn nhà số 4 có cái kèn
Người ở căn nhà số 3 có một con cá
Người ở căn nhà số 2 có 1 cốc cafe đá
Người ở căn nhà số 1 có nuôi con chim sẻ
Tất cả những người còn lại nhà đều một tầng
Hỏi ai nuôi con chuột ?