Giải:

Ta có: abcabc = abc000  + abc 

                      = abc x 1000 + abc 

                      = abc . (1000 + 1)

                      = abc . 1001

                      = abc . 7 . 11 . 13

Vậy số abcabc là tích của abc với 7; 11; 13 => abcabc chia hết cho 7; 11 và 13

N = abcabc = abc x 1001= abc x[7 x11x 13]

suy ra :abcabc chia het cho 7 , cho11,13

Giải:

Ta có: abcabc = abc000  + abc 

                      = abc x 1000 + abc 

                      = abc . (1000 + 1)

                      = abc . 1001

                      = abc . 7 . 11 . 13

Vậy số abcabc là tích của abc với 7; 11; 13 => abcabc chia hết cho 7; 11 và 13

a)  aa  = a.11 chia hết cho 11

b) aaa  = 100.a+10 a+a = 111.a chia hết cho 37  (vì 111 chia hết cho 37)

c)  aaaaaa = 111111.a chia hết cho 37 (vì 111111 chia hết cho 37)

d)  abcabc  = 100000a+10000b+1000c+100a+10b+c = 100100.a+10010b+1001c

ta thấy 100100.a  chia hết cho 11 ( vì 100100  chia hết cho 11)

            10010b chia hết cho 11 ( vì 10010  chia hết cho 11)

             1001c  chia hết cho 11 ( vì 1001  chia hết cho 11)

Vậy 100100.a+10010b+1001c  chia hết cho 11 hay  abcabc chia hết cho 11

e) C aaaaaa  = 111111a chia hết cho 7 ( 111111 chia hết cho 7)

ta có: abcabc=abcx1000+abcx1=abcx(1000+1)=abcx1001=mà 1001 chia hết cho 11=>abcabc sẽ chia hết cho 11

Ta lại có: 1001 chia hết cho 7=>abcabc sẽ chia hết cho 7

ta phân tích như sau :

abcabc=abcx1001 vì 1001 chia hết cho 3 số nguyên 7 ;11;13 nên abcx1001cũng chia hết cho 7;11;13 mà abcabc=abcx1001 từ đó suy ra abcabc chia hết ít nhất 3 số nguyên tố

ta có:abcabc=abc.1001

mà 1001 chia hết cho 7;11;13(là số nguyên tố)

nên abc.1001 chia hết cho 7;11;13(là số nguyên tố)

suy ra số tự nhiên  abcabc  chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố

co: abcabc= abc . 1001

vì: 1001 chia hết cho 7; 11;13 (đều là các số nguyên tố)

=> abc . 1001 chia het cho 3 so nguyen to 7; 11; 13 

Vay moi so tu nhien co dang abcabc deu chia het cho it nhat 3 so nguyen to (DPCM)

abc abc=abc.1000+abc=abc.(1000+1) 
=abc.1001=abc.91.11 
vì 11 chia hết cho 11=>abc.91.11 chia hết cho 11 
vậy số abcabc lúc nào cũng chia hết cho 11

Theo bài ra ta có :

\(\overline{abcabc}\)

\(=\overline{abc}.1000+\overline{abc}.1\)

\(=\overline{abc}.\left(1000+1\right)\)

\(=\overline{abc}.1001\)

\(=\overline{abc}.11.91\)

\(=\left(\overline{abc}.91\right).11\)

\(\Rightarrow\overline{abcabc}⋮11\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(\overline{abcabc}=1001\overline{abc}=11.91\overline{abc}\)

Vì \(11.91\overline{abc}\) \(⋮\) 11 nên \(\overline{abcabc}\) \(⋮\) 11

\(\Rightarrow\) ĐPCM(điều phải chứng minh)

abcabc \(⋮\) 11 vì:

abcabc = abc . 1000 + abc

abcabc = abc . ( 1000 + 1 )

abcabc = abc . 1001

abcabc = abc . 11 . 91

Mà 11 \(⋮\) 11 \(\Rightarrow\) abc . 11 . 91 \(⋮\) 11

Vậy abcabc \(⋮\) 11 ( đpcm )

Ta có:

\(\overline{abcabc}=1001\overline{abc}=11.99\overline{abc}\)

Vì \(11.99\overline{abc}\) \(⋮\) 11 nên \(\overline{abcabc}\) \(⋮\) 11

\(\Rightarrow\text{Điều phải chứng minh}\)

Vì x ⋮ 11 <=> (a₀+a₂+a₄+...) - (a₁+a₃+a₅+...) ⋮ 11

=> (c+a+b) - (b+c+a) = 0 ⋮ 11

Vậy dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11.

abcabc=a.100000+b.10000+c.1000+a.100+b.10+c.1

=a.100100+b.10010+c.1001

=a00.1001+b0.1001+c.1001

=abc.1001

=(abc.91).11 chia hết cho 11

=> abcabc chia hết cho 11

abcabc=abc x 1001=abc x 91 x 11\(⋮\)11

#Châu's ngốc

abcabc

=abc000+abc

=abc.100+abc

=abc.(100+1)

=abc.101

vì 101:101 =>abc.101 chia hết cho 101 =>abcabc luôn chia hết cho 101 với mọi abc

Ta có:abcabc=abc000+abc

=1000abc+abc

=1001.abc

Vì 1001 chia hết cho 11=>1001.abc chai hết cho 11

hay abcabc chia hết cho 11

Vậy abcabc chia hết cho .11