kết bạn với tớ nhé!!!!!!!!!!!!$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

bạn đã bt giải chưa chỉ mk vs đag cần gấp lém :))

Vì  \(a,b,c\)  lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra  \(a,b,c>0\)

\(----------------\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho hai số dương, ta có:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\)  \(\left(1\right)\)

Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a,\)   thu được:

\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\)  \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế,  khi đó bđt mới có dạng:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\) 

\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)  \(\left(\alpha\right)\)

\(----------------\)

Mặt khác, lại theo bđt  \(AM-GM,\)   ta có:

\(\Omega_1:\)  \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)

\(\Omega_2:\)  \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)

Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:     

\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\)    \(\left(1^'\right)\)

Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:  

\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\)  \(\left(2^'\right)\)

\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\)  \(\left(3^'\right)\)

Từ   \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\)  và  \(\left(3^'\right)\)  suy ra  \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)   \(\left(\beta\right)\)

\(----------------\)

\(\left(\alpha\right);\beta\)  \(\Rightarrow\)  \(đpcm\)

Dấu  \("="\)  xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c,\)   tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!

C/m dạng tổng quát \(\frac{a^{n+1}}{b+c-a}+\frac{b^{n+1}}{c+a-b}+\frac{c^{n+1}}{a+b-c}\ge a^n+b^n+c^n\left(n\ge1\right)\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)

Suy ra \(\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{b}{c+a-b}\ge\frac{c}{a+b-c}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có: 

\(Σ\frac{a^{n+1}}{b+c-a}=Σa^n\cdot\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{1}{3}Σa^n\cdotΣ\frac{a}{b+c-a}\geΣa^n\)

đề thi hà nội à
chuyển vế, nhóm
giả sứ \(a\ge b\ge c\)
=>.......
cộng lại 
c/m bđt đúng là đc