Chu vi bằng 4 nên tất cả các cạnh phải nhỏ hơn 2

suy ra a^2 +b^2 +c^2 < 2(a+b+c) =8

Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2

\(\Rightarrow a< 1\).

Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).

Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).

Ta có:

a<b+ca<b+c 
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c 
--> 2a<22a<2 
--> a<1a<1 

Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1 

Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0 
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0 
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0 
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc 

Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca 
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca 
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2 
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a-b-c-la-do-dai-ba-canh-cua-mot-tam-giac-va-thoa-man-he-thuc-a-b-c-1-cmr-a2-b2-c2-12.139261258302

áp dụng Hê rông nha mn❤

vì a b c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a b c dương \(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}\)\(\frac{b^2}{c+a}\)\(\frac{c^2}{a+b}\)dương 

chu vi của tam giác có cạnh a b c là 4 nên a+b+c=4

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)(bđt cauchy schwat dạng engel)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{4^2}{4\cdot2}=\frac{16}{8}=2\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow a=b=c=\frac{4}{3}\)

vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=2\)dấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{4}{3}\)

cảm ơn bạn nha