Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.

Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.

=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN 

Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE

=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI     (1)

Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC² = DF.DE => DI² = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)

=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD)  => ^KIE = ^BFI  (2)

Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE² = IK.AE

Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)

Suy ra: IE² = 4.MJ.MN hay AI² = 4.MJ.MN => 4.MA² = 4.MJ.MN => MA² = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)

=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 180⁰ - ^ANI

Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 180⁰ - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp

=> ^AJH + ^AIH = 180⁰ <=> ^MJA + ^MJH + 90⁰ - ^IAN = ^MJH + 90⁰ = 180⁰ => ^MJH = 90⁰ 

=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).

a) Ta có:

\(CD\perp AC\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và \(BH\perp AC\)(do H là trực tâm tam giác ABC)

Suy ra CD // BH.    (1)

Lại có:

\(BD\perp AB\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và \(CH\perp AB\)(do H là trực tâm tam giác ABC)

Nên BD // CH.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Mà I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của HD. Suy ra, I, H, D thẳng hàng.(đpcm)

c)  Xét tam giác AHD có:

O là trung điểm của AD, I là trung điểm của HD nên AH = 2OI(tính chất đường trung bình trong tam giác)(đpcm)

Ta có:

\(AH^2+BC^2=4OI^2+4BI^2=4OB^2=4R^2\)(đpcm)

a: Xét ΔABC có

H là trực tâm 

nên CH\(\perp AB\left(1\right)\) và BH\(\perp AC\left(3\right)\)

Xét \(\left(O\right)\) có

ΔABD nội tiếp đường tròn

AD là đường kính

Do đó: ΔBDA vuông tại B

hay BD\(\perp AB\left(2\right)\)

Xét \(\left(O\right)\) có 

ΔACD nội tiếp đường tròn

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

hay CD\(\perp AC\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BD//CH

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra CD//BH

Xét tứ giác BHCD có 

BD//CH

CD//BH

Do đó: BHCD là hình bình hành

1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 ~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~

Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)

Ta lại có: \(BD\perp HK\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)

\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)

Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))

Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)

\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )

Ủa bạn ơi sao phụ nhau? Dòng đầu ấy

Đúng rồi bạn. Phụ nhau ý nghĩa là ^HBD + ^ACB = 90^0 và tương tự như góc kia. (Tam giác vuông ý)

a, Ta có: BD//CH vì cùng vuông góc với AB; BH//CD vì cùng vuông góc với AC

b, Ta có I là trung điểm của BC => I là trung điểm HD

c, Ta có OI là đường trung bình ∆AHD => AH = 2OI