\(\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\le1-\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{ab}\)

Ta có:\(4=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge2\)

Đặt \(x=\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge2\Rightarrow A=1-\frac{a}{2}+a^2\) đạo hàm  phát ra ngay nè <3 

Cach khac: a+b>= 2 căn ab => 4 >= 2 căn ab => 4>= ab

\(A=\left(1-\frac{1}{a}\right).\left(1-\frac{1}{b}\right)=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\)

Ta có: \(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}-\frac{1}{4}\)

\(=\frac{ab-4}{ab}-\frac{ab-4}{4ab}\left(a+b=4\right)\)

\(=\left(ab-4\right).\frac{3}{4}ab\le0\left(a,b>0;4\ge ab\right)\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\le\frac{1}{4}\)

Dấu = xr khi a=b=4/2=2

Vậy Max A=1/4 đạt tại a=b=2

@coolkid

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ne\frac{1}{2\sqrt{ab}}\)

chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:

\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)

\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)

tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)

cộng theo vế của bđt trên ta được

\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)

Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\left(a^3+b\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2;\left(b^3+a\right)\left(\frac{1}{b}+a\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a^3+b}\le\frac{\frac{1}{a}+b}{a+b};\frac{a+b}{b^3+a}\le\frac{\frac{1}{b}+a}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow M\le\frac{\frac{1}{a}+b}{a+b}+\frac{\frac{1}{b}+a}{a+b}-\frac{1}{ab}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{a+b}-\frac{1}{ab}\)

\(=\frac{ab\left(a+b\right)+a+b-\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=1

Xét bđt sau :\(\left(a+b^3\right)\left(m+n\right)\ge\left(\sqrt{am}+\sqrt{b^3n}\right)^2\)(đúng theo bunhia nhé)

Chon \(m=a;n=\frac{1}{b}\)khi đó :

\(\left(a+b^3\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(\sqrt{a.a}+\sqrt{b^3.\frac{1}{b}}\right)^2\)

\(< =>\left(a+b^3\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(< =>a+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\frac{1}{a}+b}=\frac{a\left(a+b\right)^2}{1+ab}\)

Suy ra \(\frac{1}{a+b^3}\le\frac{1+ab}{a\left(a+b\right)^2}\)(*)

Bằng cách chứng minh tương tự ta được :\(\frac{1}{a^3+b}\le\frac{1+ab}{b\left(a+b\right)^2}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra : \(\frac{1}{a+b^3}+\frac{1}{a^3+b}\le\frac{1+ab}{a\left(a+b\right)^2}+\frac{1+ab}{b\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\left(\frac{1+ab}{a}+\frac{1+ab}{b}\right)=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\left(\frac{1}{a}+a+\frac{1}{b}+b\right)\)

\(=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{\left(a+b\right)^2}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{a+b}=\frac{\frac{a+b}{ab}}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{a+b}=\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{a+b}\)

Khi đó bài toán trở thành tìm GTLN của biểu thức :

\(A\le S=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{a+b}\right)-\frac{1}{ab}=\frac{a+b}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{a+b}-\frac{1}{ab}\)

\(=\frac{1}{ab}+1-\frac{1}{ab}=1\)

Vậy \(A_{max}=1\)đạt được khi ...

chuyên KHTN 2017 ?

lớn nhất hay nhỏ nhất thế bạn

lớn nhất

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)

=>     \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)

=>     \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)

Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)

Có:    \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)

Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)