\(x^2+y^2-4x-2=0\Leftrightarrow x^2+y^2=4x+2\)

\(-x^2+4x+2=y^2\ge0\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\\ \Rightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\\ \Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)

 Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)

        \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)

 Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^

Có bạn nào biết giải câu f ko giải hộ mình với

\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)

\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)

\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)

\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)

Bất đẳng thức trên đúng vì :

\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)

Vậy \(A\ge2\)

Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)

Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)

\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)

\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)

BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)

Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)

Làm tương tự với vế còn lại.

$x+y=2\Rightarrow {}^{}+{}^{}+2xy=4\Rightarrow {}^{}+{}^{}=4-2xy$

Đặt $t=\sqrt{xy};t\ge 0;t\le \frac{x+y}{2}=1$

$\sqrt{{}^{}+{}^{}}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2{}^{}}+t$

$+\sqrt{4-2{}^{}}+t\ge 2\iff \sqrt{4-2{}^{}}\ge 2-t$

Đề bài sai, sửa đề: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le\sqrt{6}\)

Đặt \(P=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}>0\)

\(\Rightarrow P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}\ge x^2+y^2+xy+2\sqrt{2xy.xy}\)

\(\Rightarrow P^2\ge x^2+y^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)xy\ge x^2+y^2+2xy=4\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)

Lại có: \(P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}=x^2+y^2+xy+\sqrt{4xy.\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Rightarrow P^2\le x^2+y^2+xy+\dfrac{1}{2}\left(4xy+x^2+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2=6\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3};\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\)

C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:

\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)

"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đề bài sai

Chỉ tồn tại duy nhất cặp x;y thỏa mãn pt khi đề bài là: 

\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y-6\sqrt{y}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\\sqrt{y}-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=9\end{matrix}\right.\)

Vậy có duy nhất cặp  số (x;y)=(2;9) thỏa mãn phương trình

ĐK: \(y\ge0\)

\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y-6\sqrt{y}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(2;9\right)\) là nghiệm duy nhất của phương trình