đề thiếu bạn ơi cái này phải áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 

Bạn ơi đề bài có vậy thôi nha.

Bạn chỉ mình cách dãy tỉ số bằng nhau đc ko ạ???

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Tương tự:

$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Cộng theo vế:

$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$