Cho a, b, c \(\inℕ\)thỏa mãn: \(a^b=b^c=c^a\)Chứng minh rằng: a= b= c
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn \(a³ - b² - b = b³ - c² - c = c³ - a² - a = \) \(\dfrac{1}{3}\) Chứng minh rằng \(a = b = c \)
Cho a,b,c,d \(\inℕ^∗\)thỏa mãn \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{c}{d}\). Chứng minh rằng : \(\frac{2019a+c}{2019b+d}\)< \(\frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow2019ad< 2019bc\)
\(\Leftrightarrow2019ad+cd< 2019bc+cd\)
\(\Leftrightarrow d\left(2019a+c\right)< c\left(2019b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2019a+c}{2019b+d}< \frac{c}{d}\)
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a). Chứng minh rằng a+b+c chia hết cho 27
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng \(\sum\)\(\dfrac{a}{a^2+b+c}\) ≤ 1
Bunhiacopxki: \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c}\le\dfrac{1+b+c}{9}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+b+c}\le\dfrac{a+ab+ac}{9}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b^2+a+c}\le\dfrac{b+ab+bc}{9}\) ; \(\dfrac{c}{c^2+a+b}\le\dfrac{c+ac+bc}{9}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{a+b+c+2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\le\dfrac{a+b+c+\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc=1.chứng minh rằng a²/b +b²/c +c²/a >=a/b +b/c +c/a
cho 3 số nguyên a,b,c thỏa mãn a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a).Chứng minh rằng a+b+c chia hết cho 27
Giải như sau:
TH1: a, b, c có các số dư khác nhau khi chia cho 3
Suy ra a+b+c chia hết cho 3 trong khi đó (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 3 (do cả 3 số ta đã giả sừ không có 2 số nào có cùng số dư)
TH2: a, b, c đều có cùng số dư khi chia 3 suy ra mọi việc xong vì khi đó (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27 suy ra a+b+c chia hết cho 27 (dpcm).
Th3: a, b, c chì tồn tại duy nhất 1 cặp có cùng số dư chia cô 3 (vì nếu tồn tại 2 cặp thì 3 số sẽ cùng số dư quay về TH2)
(1) Suy ra a+b+c không chia hết cho 3 suy ra vô lý vì (a-b)(b-c)(c-a) có một số chia hết cho 3
(do (1)) Tóm lại chì có TH2 được nhận hay a+b+c chia hết cho 27
Bài 1 :
a) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\) . Chứng minh rằng a = b = c
b) Cho a , b , là ba số thực thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
c) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . Liệu có thể khẳng định rằng a + b + c = 0
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
b, \(0=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+6abc+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2\)
\(=a^3+b^3+c^3+6abc+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+6abc-3abc-3abc-3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Từ (a) -> hoặc a+b+c = 0 hoặc a=b=c. Vậy ko thể khẳng định như vây
Cho ba số a; b; c > 0 thỏa mãn: \(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}\)
Chứng minh rằng a = b =c.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}=\dfrac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-1\)
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=-1\Rightarrow a+b-3c=-c\Rightarrow a+b-2c=0\left(1\right)\)
\(\dfrac{b+c-3a}{a}=-1\Rightarrow b+c-3a=-a\Rightarrow b+c-2a=0\left(2\right)\)
\(\dfrac{c+a-3b}{b}=-1\Rightarrow a+c-3b=-b\Rightarrow a+c-2b=0\left(3\right)\)
Từ (1), (2) ta có:\(a+b-2c=b+c-2a\Rightarrow3a=3c\Rightarrow a=c\left(4\right)\)
Từ (1), (3) ta có:\(a+b-2c=a+c-2b\Rightarrow3b=3c\Rightarrow b=c\left(5\right)\)
Từ (4), (5)\(\Rightarrow a=b=c\)